Metody Newtona-Cotesa - Polski Serwis Naukowy

W analizie numerycznej wzory Newtona-Cotesa są zbiorem metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.

Przyjmujemy, że wartość funkcji f jest znana w równo oddalonych punktach xi, dla i = 0, ..., n. Dla punktów oddalonych od siebie o inne odległości ma zastosowanie inna klasa wzorów, kwadratura gaussowska.

Jeżeli $a=x_0<x_1<x_2,\cdots <x_{n-1}<x_n=b$ są równo odległymi węzłami interpolacji funkcji f(x) (tj. $x_i$ są elementami dziedziny f, dla których znana jest wartość $f(x_{i })=y_i$ ), to całkę:

Metody numeryczne – metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są na ogół przybliżone, jednak dokładność obliczeń może być z góry określona i dobiera się ją zależnie od potrzeb.

Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wyżejwymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć wyraz kwadratura również niesie to znaczenie dla całkowania w wyższych wymiarach.

$\int\limits_a^b f(x) dx$

można aproksymować całką: $\int\limits_a^b L_{n }(x) dx$

gdzie $L_{n }(x) dx$ jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a stopnia co najwyżej n, przybliżającym funkcję f(x) w węzłach interpolacji, tj.: $L_{n }(x_{0 })=y(x_{0 }),L_{n }(x_{1 })=y(x_{1 }),\cdots ,L_{n }(x_{n })=y(x_{n })$

Niech $h_n = \frac {b-a}{n}$ oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.

Wprowadzając zmienną t taką, że x=a+th można zapisać: $L_{i }(x)=L_{n }(a+th)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n \frac {t-j}{i-j}=g(t)$

Wtedy:

Aproksymacja – proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym w ściśle sprecyzowanym sensie. Przeważnie aproksymuje się byty (np. funkcje) skomplikowane bytami prostszymi.

$\int\limits_a^b L_{n }(x) dx=\int\limits_a^b \sum_{i = 0}^n f(x_i)\cdot L_{i }(x) dx=$ $\sum_{i = 0}^n f(x_i)\cdot \int\limits_a^b L_{i }(x) dx$

$x=a+t\cdot h$ , $f(x_i)=f(a+i\cdot h)$

$x_i=a+i\cdot h$ dla $a=x_0$ t=0
dla $x_1$ t=1
$\cdots$
dla $b=x_n$ t=n $dx=(x)'=1$
$dt=(a+t\cdot h)dt=(a+t\cdot h)'=h=dt$

Zmieniając zmienną, oraz granice całkowania otrzymuje się: $\int\limits_a^b L_{i }(x)dx = h\cdot \int\limits_0^n g(t) dt$

Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla n+1 równo odległych węzłów przyjmuje postać: $\int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_a^b L_{n }(x) dx = \sum_{i=0}^n f(x_{i }) \cdot \int\limits_a^b L_{i }(x=a+t\cdot h) dx = \sum_{i=0}^n f(x_{i }) \cdot h\cdot \int\limits_0^n \prod_{j=0 \and j\ne i}^n \frac {t-j}{i-j} dt$

Przyjmując za $A_i = h\cdot \int\limits_0^n \prod_{j=0 \and j\ne i}^n \frac {t-j}{i-j} dt$ (nazywane współczynnikami kwadratury Newtona-Cotesa), otrzymuje się: $\int\limits_a^b f(x) \approx \sum_{i=0}^n f(x_i)\cdot A_i$

$A_i = A_{n-i}$

Dowód: $A_i = h\cdot \int\limits_0^n \prod_{j=0 \and j\ne i}^n \frac {t-j}{i-j} dt$ Niech $v=n-t$ . Wtedy: $dt=-dv$ $A_i= - h\cdot \int\limits_n^0 \prod_{j=0 \and j\ne i}^n \frac {n-v-j}{i-j} dv =$ Odwrócenie granic całkowania: $= h\cdot \int\limits_0^n \prod_{j=0 \and j\ne i}^n \frac {n-j-v}{(n-j)-(n-i)} dv =$ Niech $(n-j)=v'$ . $= h\cdot \int\limits_0^n \prod_{v'=0 \and j\ne (n-i)}^n \frac {v'-v}{v'-(n-i)} dv =$ Po wyciągnięciu (-1) przed iloczyn i mianownik: $= h\cdot \int\limits_0^n \prod_{v'=0 \and j\ne (n-i)}^n \frac {v-v'}{(n-i)-v'} dv = A_{n-i}$

Definiuje się dwa typy wzorów Newtona-Cotesa:

otwarte, które nie wykorzystują wartości funkcji w skrajnych punktach, oraz

zamknięte, wykorzystujące wszystkie wartości funkcji.

Zamknięty wzór Newtona-Cotesa rzędu n: $\int\limits_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)$

gdzie xi = h i + x0, z h (nazywanym rozmiarem kroku) równym (xn - x0)/n oraz $w_i$ są wagami. Wagi można wyprowadzić z wielomianów bazowych Lagrange'a. To oznacza, że zależą tylko od xi a nie od funkcji f. L(x) wielomianem interpolacji w postaci Lagrange'a dla punktów (x0, f(x0) ),..,(xn, f(xn) ) $\int\limits_a^b f(x) \,dx \approx \int\limits_a^b L(x)\,dx = \int\limits_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x)\, dx$ $=\sum_{i=0}^n \int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f(x_i)\, l_i(x)\, dx = \sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} l_i(x)\, dx}_{w_i}$

Otwarty wzór Newtona-Cotesa rzędu n: $\int\limits_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n-1} w_i\, f(x_i)$

wagi znajdujemy w sposób analogiczny do powyższego.

Możemy skonstruować wzór Newtona-Cotesa dowolnego rzędu.

Niektóre wzory niskich rzędów mają swoje tradycyjne nazwy.

W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamkniętego.

Notacja $f_i$ oznacza $f(x_i)$ .

Wykładnik o kroku h w wyrazie błędu pokazuje szybkość zmniejszania się błędu przybliżenia. Pochodna f w wyrazie błędu pokazuje który wielomian może być scałkowany dokładnie (tzn. z błędem równym 0). Zauważ, że pochodna f w wyrazie błędu wzrasta o 2 dla każdego innego wzoru. Liczba $\xi$ zwiera się pomiędzy a i b.

W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu otwartego.

Zwróć uwagę, że aby wzór dawał dobre przybliżenie, krok h musi być mały, co oznacza, że przedział całkowania $[a, b]$ również musi być mały, co zazwyczaj nie jest spełnione. Z tego powodu dzielimy przedział na mniejsze podprzedziały i stosujemy metodę Newtona-Cotesa na każdym z tych podprzedziałów a następnie dodając wyniki. Jest to metoda złożona.

Literatura

J.i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Warszawa, 1981. (See Section 4.5)

M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)

George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)

William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)

Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

Przypisy

Boole's Rule - from Wolfram MathWorld

Zobacz też

Analiza numeryczna

Metoda numeryczna

Wzory Newtona-Cotesa