Miara Jordana - Polski Serwis Naukowy

Miara Jordana – formalizacja pojęcia rozmiaru, czyli np. długości, pola danej figury, objętości bryły. Nosi ona nazwisko francuskiego matematyka Camille'a Jordana, który wprowadził ją pod koniec dziewiętnastego wieku. Obecnie częściej stosuje się miarę Lebesgue'a będącą uogólnieniem miary Jordana na szerszą klasę zbiorów.

Francuzi – naród romański zamieszkujący głównie Francję (ok. 52 mln), Wielką Brytanię (ok. 100 tys.), Katalonię (ok. 4 tys.) oraz nieliczni w Belgii, Andorze, Luksemburgu, Monako i Szwajcarii. Poza tym Francuzi żyją głównie w swoich byłych koloniach w Afryce oraz w własnych terytoriach zamorskich w Oceanii i na innych kontynentach. Około 10 milionów osób francuskiego pochodzenia mieszka w Stanach Zjednoczonych, a 5 milionów w Kanadzie. Ich ojczystym językiem jest francuski. Większość Francuzów to katolicy (chrystianizacja w II – IV wieku). Dzisiaj wielu potomków byłych imigrantów uważa się za część narodu francuskiego, są to przeważnie osoby pochodzenia afrykańskiego i arabskiego. Pozostają oni obywatelami państwa francuskiego.
MathWorld - encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

Miara Jordana dla sum prostokątów

Suma (być może nakładających się) prostokątów.

Rozkład powyższego zbioru na rozłączne prostokąty.

Niech $\mathbb R^n$ będzie przestrzenią kartezjańską. Niech $C$ oznacza iloczyn ograniczonych przedziałów $C = [a_1, b_1) \times [a_2, b_2) \times \cdots \times [a_n, b_n)$ ,

które są domknięte z lewej i otwarte z prawej (przedziały półotwarte są wyborem technicznym; równie dobrze można użyć zbiorów domkniętych albo otwartych). Takie zbiory nazywać się będą n-wymiarowymi prostokątami lub po prostu prostokątami. Miarę Jordana takiego prostokąta definiuje się jako iloczyn długości przedziałów:

Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.
Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

$m(C) = (b_1 - a_1) (b_2 - a_2) \cdots (b_n - a_n).$

Niech $S$ będzie skończoną sumą prostokątów, $S = C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_k$

dla dowolnego $k \geqslant 1$ .

Nie można zdefiniować miary Jordana $S$ po prostu jako sumy miar poszczególnych prostokątów, ponieważ może się zdarzyć, że prostokąty będą się na siebie istotnie nakładać. Każdy taki zbiór $S$ może jednak być zapisany jako suma innej skończonej rodziny prostokątów, które są wzajemnie rozłączne, i można zdefiniować miarę Jordana $m(S)$ jako sumę miar tych rozłącznych prostokątów. Można pokazać, że taka definicja miary Jordana zbioru $S$ jest niezależna od reprezentacji $S$ za pomocą skończonej sumy rozłącznych prostokątów. Właśnie w celu dekompozycji na rozłączne zbiory korzysta się z założenia, że prostokąty złożone są z półotwartych przedziałów.

Objętość jest miarą przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny, jednostka zbyt duża do wykorzystania w życiu codziennym. Z tego względu najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm3 = 0,001 m³).
Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)