Miara Lebesgue'a - Polski Serwis Naukowy

Miara Lebesgue'a (czyt. „lebega”) – pojęcie teorii miary formalizujące i uogólniające intuicje związane z takimi pojęciami (w zależności od wymiaru) jak długość, pole powierzchni czy objętość bryły. Historycznie pojęcie miary (nazywanej dziś miarą Lebesgue'a) pochodzi z pracy Henriego Lebesgue'a, dotyczącej rozszerzenia pojęcia całki na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż przedziały domknięte (tzw. całka Lebesgue'a).

Przekształcenie lub odwzorowanie liniowe – w algebrze liniowej odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi zachowujące ich strukturę (tzw. homomorfizm), a więc działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Dokładniej, jest to każda funkcja addytywna i jednorodna.
Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

Miara Lebesgue'a to jedyna zupełna, wewnętrznie regularna i niezmiennicza na przesunięcia (zob. Własności) miara borelowska (określona na σ-ciele zawierającym wszystkie otwarte podzbiory przestrzeni), w której (jednostkowa) kostka wielowymiarowa ma miarę jednostkową.

Rodzina podzbiorów przestrzeni euklidesowej, dla których sensowne jest określenie miary Lebesgue'a, nie może być opisana w sposób jawny. Elementy tej rodziny tworzą σ-ciało, nazywane σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Ewentualne istnienie zbiorów, które nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a ma podłoże teoriomnogościowe (mówiąc wprost zależy od przyjętej aksjomatyki teorii mnogości; zob. Zbiory niemierzalne).

Bulletin of the American Mathematical Society (skrót: Bull. Amer. Math. Soc.) - czasopismo naukowe o tematyce matematycznej (kwartalnik), wydawane przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. W czasopiście publikowane są artykuły naukowe oraz recenzje. Czasopismo założone pod nazwą Bulletin of the New York Mathematical Society zmieniło nazwę wraz ze zmianą nazwy wydawcy na American Mathematical Society; obecnie na liście filadelfijskiej.
Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

Motywacja

Miary stanowią uogólnienie długości, pola powierzchni i objętości, a przy tym okazują się one przydatne do mierzenia bardziej abstrakcyjnych i nieregularnych zbiorów niż przedziały czy kule w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Jednym z pierwszych problemów, które stawiała sobie teoria miary, było pytanie o to, czy istnieje miara $m$ o następujących własnościach:

Kurt Gödel (1906-1978) – austriacki logik i matematyk; autor ważnych twierdzeń z zakresu logiki matematycznej, współautor jednej z aksjomatyk teorii mnogości. Do najbardziej znanych osiągnięć matematycznych Gödla należą twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności bogatszych teorii dedukcyjnych (to znaczy takich, które obejmują arytmetykę liczb naturalnych).
Miara Radona – w teorii miary lokalnie skończona i wewnętrznie regularna miara określona na σ-ciele zbiorów borelowskich topologicznej przestrzeni Hausdorffa.

$m$ jest określona dla wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej, tzn. dziedziną $m$ jest zbiór potęgowy zbioru liczb rzeczywistych,
dowolny przedział liczb rzeczywistych $[a, b]$ ma miarę $b - a,$
miara przesunięcia dowolnego podzbioru o ustalony wektor (w prawo lub w lewo) jest taka sama jak miara zbioru, który jest przesuwany (innymi słowy, miara $m$ jest niezmiennicza na przesunięcia).

Pod założeniem aksjomatu wyboru (bądź niektórych z jego słabszych form, na przykład twierdzenie o ideale pierwszym) nie istnieje miara $m$ spełniająca te warunki 1.-3. Należy mieć na uwadze, że teoria mnogości ZF wraz z aksjomatem wyboru jest obecnie najszerzej przyjmowaną aksjomatyzacją matematyki.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
Miara niezmiennicza – w matematyce miara zachowywana przez pewną funkcję. Są one szczególnym obszarem zainteresowań w studiach nad układami dynamicznymi. Twierdzenie Kryłowa-Bogolubowa mówi o istnieniu miar niezmienniczych pod pewnymi warunkami względem danych: funkcji i przestrzeni.

Przy użyciu miary zewnętrznej Lebesgue'a, tj. nieujemnej, σ-poddadytywnej funkcji zbiorów $m^*,$ określonej na zbiorze wszystkich podzbiorów prostej, która spełnia warunki 2. i 3., można skonstruować, metodą pochodzącą od Carathéodory'ego, miarę zupełną (tj. nieujemną funkcję σ-addytywną o tej własności, że podzbiór każdego zbioru, któremu funkcja ta przypisuje wartość 0, jest również mierzalny), określoną na pewnej rodzinie podzbiorów prostej, która również spełnia warunki 2. i 3. (nazywaną miarą Lebesgue'a).

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei
Suma rozłączna - w teorii mnogości zmodyfikowana operacja sumy, w której zachowana została informacja o tym, z którego zbioru pochodzi każdy element.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)