Miara kąta - Polski Serwis Naukowy

Miara kąta to wielkość kąta wyrażona w odpowiednich jednostkach. W matematyce i jej zastosowaniach teoretycznych używa się miary łukowej.

Jest to długość łuku wyciętego przez kąt z okręgu o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta. Tak określona miara wyraża się liczbą niemianowaną (bezwymiarową) i może przyjmować wartości z zakresu 0 do 2π. Jednostkę miary łukowej nazywamy radianem.

W życiu codziennym używa się zwykle miary stopniowej. Kąt pełny dzielimy na 360 stopni kątowych (symbol: °), każdy z nich na 60 minut kątowych (symbol: ′), a każdą z nich na 60 sekund kątowych (symbol: ″). Ułamki sekund kątowych podawane są już dziesiętnie.

Stopień – jednostka miary kąta płaskiego, równa 1/360 kąta pełnego czyli 1/90 kąta prostego. Oznaczana jest przez 1°, spotyka się również oznaczenie 1 deg (ang. degree). Nie jest jednostką układu SI.

Pochylenie poziome trasy, pochylenie spadku i wznoszenia, potocznie pochylenie poziome lub nachylenie trasy - w transporcie drogowym lub kolejowym wielkość opisująca różnicę wysokości między dwoma punktami drogi kołowej lub linii kolejowej odniesioną do odległości dzielącej te punkty.

Tę właśnie miarę wykorzystuje się w popularnych kątomierzach.

W praktyce militarnej i geodezyjnej stosowany bywa podział kąta pełnego na 400 gradów (lub gradusów, symbol: ), z których każdy dzieli się na 100 centygradów (symbol: ), a każdy z nich na 100 myriogradów (symbol: ). Podział taki ułatwia ręczne (pisemne) dodawanie i odejmowanie, ponieważ przeniesienia i pożyczki wykonuje się jak przy zwykłych liczbach dziesiętnych, bez konieczności przeliczania na 60 i 90 jednostek.

Grad (gon, gradus) – jednostka miary kąta płaskiego równa 1/100 kąta prostego. Jest to jednostka spoza układu SI równa π/200 radiana, czyli 9/10 stopnia. Wprowadzona zarządzeniem Napoleona Bonaparte na fali ułatwiania ludziom życia po Wielkiej Rewolucji Francuskiej. Obecnie stosowana w geodezji.

W pomiarach nachylenia nawierzchni używa się miary procentowej (np. przy określeniu nachylenia nawierzchni drogi). Przykładowo 1% oznacza górkę o wysokości 1 cm na 100 cm długości. Oblicza się to według wzoru: $Nachylenie = \frac{H}{L} * 100$ , gdzie L to długość danego fragmentu stoku, a H wysokość tego fragmentu.

Miara kąta potocznie nazywana jest kątem.

Używa się również (gł. w artylerii) jednostki zwanej tysiączną. Definiuje się ją jako miarę kąta środkowego, który z okręgu o promieniu 1km wycina łuk o długości 1m. Tysięczna jest więc równa 1/1000 radiana, w przybliżeniu 1/6283,2 kąta pełnego. Spotyka się też definicje: tysięczna artyleryjska 1 ma = 1/6400 kąta pełnego tysięczna Rimailho 1 mR = 1/6000 kąta pełnego

zatem na kilometrowym okręgu:

Dla porównania:

Porównanie miar

Argumenty funkcji trygonometrycznych dla liczb rzeczywistych można zinterpretować jako miarę kąta. Matematycy używają jednak praktycznie wyłącznie radianów. Miara stopniowa jest dość popularna, jednak w stosunku do radianów powoduje pewne komplikacje przy obliczeniach trygonometrycznych:

Dla kątów bliskich zeru długość łuku okręgu jednostkowego (czyli kąt wyrażony w radianach) jest w przybliżeniu równa wartości funkcji sinus, stąd pochodna funkcji sinus dla $x=0$ wynosi 1. 1 jest też wartością funkcji cosinus dla $x=0$ . Okazuje się, że ogólnie: $\sin^\prime x=\cos x$ $\sin^{\prime\prime} x=-\sin x$ $\sin^{\prime\prime\prime} x=-\cos x$ $\sin^{\prime\prime\prime\prime} x=\sin x$

Tak jest jednak tylko dla kątów wyrażonych w radianach (miara łukowa).

Oznaczmy na potrzeby tej sekcji funkcje sinus i cosinus dla stopni przez $\sin_{\mathrm{deg}} x=\sin\tfrac{\pi}{180}x$ oraz $\cos_{\mathrm{deg}} x=\cos\tfrac{\pi}{180}x$ .

Teraz: $\sin_{\mathrm{deg}}^\prime x=\tfrac{\pi}{180}\cos_{\mathrm{deg}} x$ $\sin_{\mathrm{deg}}^{\prime\prime} x=-\tfrac{\pi^2}{180^2}\sin_{\mathrm{deg}} x$ $\sin_{\mathrm{deg}}^{\prime\prime\prime} x=-\tfrac{\pi^3}{180^3}\cos_{\mathrm{deg}} x$ $\sin_{\mathrm{deg}}^{\prime\prime\prime\prime} x=\tfrac{\pi^4}{180^4}\sin_{\mathrm{deg}} x$

We wzorach pojawiły się dodatkowe współczynniki. Takie współczynniki są różne od 1 przy każdej mierze kąta oprócz miary łukowej (radianów). Podobne utrudnienia powstałyby także w rozwinięciach funkcji trygonometrycznych w postaci szeregów (omówione są tutaj) i w wielu innych miejscach w analizie matematycznej.

Ponadto miara łukowa ma prostą interpretację geometryczną: jest to długość części okręgu jednostkowego o środku w wierzchołku kąta zawartej w danym kącie.

Miara łukowa jest więc w pewnym sensie wyróżniona wśród wszelkich możliwych miar kątów i najbardziej naturalna, dlatego powszechnie stosuje się ją w matematyce i do niej dostosowane są definicje funkcji trygonometrycznych.

Zobacz też

Pochylenie poziome trasy