Minimum i maksimum - funkcje - Polski Serwis Naukowy

Minimum i maksimum – inaczej odpowiednio element najmniejszy i największy danego zbioru uporządkowanego. Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).

Zbiory liczbowe

Minimum i maksimum formalnie są funkcjami przypisującymi parze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ odpowiednio mniejszą (w przypadku minimum) i większą (w przypadku maksimum) z tych liczb. Dokładniej, dla $x, y \in \mathbb{R}$ funkcje te dane są wzorami: $\min(x, y) = \begin{cases} y, & \mbox {gdy } x \geqslant y \\ x, & \mbox {gdy } y \geqslant x\end{cases}$ $\max(x, y) = \begin{cases} x, & \mbox {gdy } x \geqslant y \\ y, & \mbox {gdy } y \geqslant x\end{cases}$

Okazuje się, że funkcje minimum i maksimum można zapisać jawnymi wzorami:

Działanie – w matematyce i logice jest to operacja na jednym lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami, wynikiem której jest element nazywany wynikiem działania.

Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

$\min(x, y) = \frac{x + y - |x - y|}{2}$ $\max(x, y) = \frac{x + y + |x - y|}{2}$ .

Odwrotnie, wartość bezwzględną można wyrazić za pomocą funkcji maksimum: $|x| = \max(-x, x)\;$ .

Ponadto, $\max(x, y) = x + y - \min(x, y)\;$ $\min(x, y) = x + y - \max(x, y)\;$ .

Definicję te można łatwo uogólnić na funkcje skończenie wielu argumentów. Wystarczy zauważyć, że $\max(x, y, z) = \max(\max(x, y), z) = \max(x, \max(y, z))\;$ .

W ten sposób można zdefiniować rekurencyjnie np. $\max(x, y, z) = \max(\max(x, y), z)\;$ $\max(x, y, z, u) = \max(\max(x, y, z), u) = \max(\max(x, y), \max(z, u))\;$ itp.

Podobnie ma się rzecz z funkcją $\min$ . Przypadek zbiorów nieskończonych omówiony jest niżej.

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Półgrupa to struktura algebraiczna, na którą składa się pewien zbiór wraz z określonym w nim działaniem, przy czym działanie to musi być łączne i wewnętrzne. Szczególnymi przypadkami półgrup są monoid i grupa.

W gruncie rzeczy porządek argumentów nie jest istotny, z tego względu funkcje $\max, \min$ definiuje się jako funkcje zbiorów skracając ich zapis przez pominięcie nawiasów: $\max A, \min \{1, 3, 6\}\;$ .

Definicja ogólna

Dla dowolnego zbioru $P$ z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy: $\min(P) = x \Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p \in P}\; x \leqslant p$ $\max(P) = x \Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p \in P}\; x \geqslant p$

Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych już tak nie jest. Np. odcinki (przedziały) obustronnie otwarte $(a, b)$ nie mają ani maksimum ani minimum.

Język programowania – zbiór zasad określających, kiedy ciąg symboli tworzy program (czyli ciąg symboli opisujący obliczenia) oraz jakie obliczenia opisuje.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto: $\min(P) = \inf(P)$ $\max(P) = \sup(P)$

czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny, a nie istnieje maksimum.

Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu $p$ dla $p \to -\infty$ .

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

C – imperatywny, strukturalny język programowania stworzony na początku lat siedemdziesiątych XX w. przez Dennisa Ritchiego do programowania systemów operacyjnych i innych zadań niskiego poziomu.

Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu $p$ dla $p$ dla $p \to +\infty$ .

Działania

Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny - jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.

Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).

Zobacz też

ekstremum

kres dolny i górny

Arg max