Minor - Polski Serwis Naukowy

Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Sprzężenie hermitowskie – w ujęciu analizy funkcjonalnej konstrukcja matematyczna w teorii przestrzeni Hilberta w wyniku której otrzymuje się operator dualny (sprzężony) do danego.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Przykład

Niech dana będzie macierz $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$

typu $3 \times 4$ nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru $I = \{1, 3\}$ oraz kolumn o indeksach ze zbioru $J = \{1,4\}$ otrzymuje się minor równy $\begin{vmatrix} 1 & \Box & \Box & 2 \\ \Box & \Box & \Box & \Box \\ 7 & \Box & \Box & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 4 - 14 = -10$ .

Powyższy minor nie jest główny, ponieważ $I \ne J$ . Minorem głównym macierzy $A$ jest na przykład minor

Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 8$

utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach $2$ oraz $3$ .

Wiodącymi minorami głównymi macierzy $A$ po kolei rosnącym porządku stopni: $\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -55$ .

Definicja

Dla danej macierzy $A$ typu $m \times n$ minorem stopnia $k$ , gdzie $k \leqslant \min(m, n)$ nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia $k$ otrzymanej z macierzy $A$ poprzez wykreślenie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn.

Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów $I$ wierszy o długości $k$ oraz podciągu indeksów $J$ kolumn o długości $k$ z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego $\{1, \dots, m\} \times \{1, \dots, n\}$ . Tak wybrany zbiór indeksów $I = \{i_1, \dots, i_k\} \times \{j_1, \dots, j_k\}$ służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy $A(I \times J)$ .

Jeżeli $I = J$ mają po $k$ elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich $k$ w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia $k$ . Minor główny stopnia $k$ , z którego wykreślono ostatnie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn, a więc tak, by $I = J = \{1, 2, \dots, k\}$ , nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia $k$ .

Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

Własności

Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie $1, 1$ .

Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu $r > 0$ nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia $r$ , zaś każdy minor stopnia wyższego od $r$ tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).

Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) $A$ jest

dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;

ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.

Dla danej macierzy $m \times n$ można wybrać $\tbinom{n}{k}\tbinom{m}{k}$ minorów stopnia $k$ (gdzie $\tbinom{\cdot}{\cdot}$ oznacza symbol Newtona).

Macierz typu $m \times n$ ma $\min(m, n)$ wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia $n$ ma ich dokładnie $n$ .

Zobacz też

rozwinięcie Laplace'a

dopełnienie algebraiczne