Mnożenie - Polski Serwis Naukowy

3 · 4 = 12, czyli dwanaście kropek można uporządkować w trzech rzędach po cztery (lub w czterech kolumnach po trzy).

Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.
Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Na przykład: $3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

gdzie liczby 3 i 4 są czynnikami, a 12 to ich iloczyn. Powyższe oznacza, że trzy grupy po cztery elementy to razem dwanaście elementów. Z każdej z powyższych równolicznych grup można wybrać kolejno po jednym elemencie i w ten sposób stworzyć cztery nowe grupy zawierające po trzy elementy: $4 \cdot 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$ .

W ten sposób $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$ , co w przypadku ogólnym nazywa się formalnie przemiennością. Należy mieć jednak na uwadze, że istnieją działania nazywane mnożeniami, które nie mają tej własności (zob. dalej).

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.

Mnożenia liczb naturalnych o czynnikach będących liczbami ze zbioru $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ (cyfry dziesiętnego systemu liczbowego uzupełnione o liczbę 10)

uczy się w pierwszych klasach szkoły podstawowej pod postacią tzw. tabliczki mnożenia. Dowolna liczba pomnożona przez zero daje w wyniku zero, podobnie dowolna liczba pomnożona przez jeden daje w wyniku tę liczbę (tzn. jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).

Klawiatura komputerowa – uporządkowany zestaw klawiszy służący do ręcznego sterowania urządzeniem lub ręcznego wprowadzania danych. W zależności od spełnianej funkcji klawiatura zawiera różnego rodzaju klawisze – alfabetyczne, cyfrowe, znaków specjalnych, funkcji specjalnych, o znaczeniu definiowanym przez użytkownika.
Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Mnożenie pisemne liczb

Przykład

Algorytm pisemnego mnożenia najłatwiej wytłumaczyć na przykładzie. Obliczymy iloczyn liczb $105\;$ i $18\;$ . Należy zapisać jedną z liczb pod drugą tak, by cyfry oznaczające odpowiednio jedności, dziesiątki, setki itp. znajdowały się w jednej kolumnie (mniej precyzyjnie: wyrównać cyfry obu liczb do prawej):

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.
Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

$\underline \begin{matrix} & & 1 & 0 & 5 \\ \cdot& & & 1 & 8 \end{matrix}$

Następnie mnoży się poszczególne cyfry i zapisuje jedna pod drugą na odpowiedniej pozycji: jeżeli przyjąć, że pozycje cyfr numerowane są od prawej począwszy od zera, to cyfra dziesiątek i cyfra jednostek iloczynu dwóch cyfr powinny być zapisywane na pozycji będącej sumą pozycji mnożonych cyfr i o jeden mniejszej (jeżeli cyfra dziesiątek jest zerem, to zwykle się jej nie pisze). W ten sposób (mnożąc kolejno od prawej cyfry drugiej liczby przez kolejne cyfry pierwszej liczby):

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba jest podzielna przez 1.

$\begin{matrix} \underline \begin{matrix} & & 1 & 0 & 5 & \;\;\;\; \\ \cdot & & & 1 & 8 & \;\;\;\; \end{matrix} \\ \underline \begin{matrix} & & & 4 & 0 & \; \scriptstyle{(=8 \cdot 5)} \\ + & & & 0 & & \; \scriptstyle{(=8 \cdot 0)} \\ + & & 8 & & & \; \scriptstyle{(=8 \cdot 1)} \\ + & & & 5 & & \; \scriptstyle{(=1 \cdot 5)} \\ + & & 0 & & & \; \scriptstyle{(=1 \cdot 0)} \\ + & 1 & & & & \; \scriptstyle{(=1 \cdot 1)} \end{matrix} \\ \begin{matrix} & 1 & 8 & 9 & 0 & \;\;\;\;\; \end{matrix} \end{matrix}$

Suma tak zapisanych iloczynów cyfr (przyjmując, że puste miejsca oznaczają zera) daje wynik: $105 \cdot 18 = 1890\;$

Mnożenie liczb całkowitych przebiega podobnie, z tym iż mnoży się wartości bezwzględne, tzn. liczby bez znaku, i uzupełnia znak iloczynu minusem, jeżeli dokładnie jedna z nich była ujemna.

Jeżeli jeden (lub oba) z czynników jest pewną wielokrotnością liczby 10, tzn. na jej końcu znajduje się pewna liczba zer, to zamiast

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

$\underline \begin{matrix} & & 1 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ \cdot& & & & 1 & 8 & 0 \end{matrix}$

oblicza się iloczyn $105 \cdot 18$

$\begin{matrix} \underline \begin{matrix} & & 1 & 0 & 5 & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue} 0 \;\;\;\; \\ \cdot& & & 1 & 8 & \color{MidnightBlue} 0 & \;\;\;\;\; \end{matrix} \\ \begin{matrix} & 1 & 8 & 9 & 0 & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue} 0 \end{matrix} \end{matrix}$

mnożąc przy tym tylko wspomniane czynniki, tzn. bez końcowych zer, mnożąc końcowy wynik przez iloczyn potęg, tzn. dopisując odpowiednią liczbę zer na jego końcu.

Podobnie ma się rzecz z ułamkami w zapisie dziesiętnym, gdyż są one ujemnymi potęgami liczby 10. Należy więc wykonać mnożenie tak, jakby w ich zapisie nie było przecinka, czyli znów zamiast $1,05 \cdot 1,8$ należy obliczyć iloczyn $105 \cdot 18$ po czym umieścić przecinek tak, by znajdował się na pozycji będącej sumą pozycji przecinków w czynnikach (licząc od prawej).

Działanie dwuargumentowe (binarne) to w matematyce funkcja, która każdej parze uporządkowanej dwóch elementów danego zbioru X przypisuje określony element pewnego zbioru Y.
Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

$\begin{matrix} \underline \begin{matrix} & & 1, & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue}5 \;\;\; \\ \cdot& & & 1, & \color{MidnightBlue}8 \;\;\; \end{matrix} \\ \begin{matrix} & 1, & \color{MidnightBlue} 8 & \color{MidnightBlue} 9 & \color{MidnightBlue} 0 & \end{matrix} \end{matrix}$

Uwaga: Mnożyć sposobem pisemnym można tylko w systemach pozycyjnych.

Algorytm

Sam algorytm mnożenia pisemnego polega na zapisaniu liczby naturalnej w postaci sumy kolejnych potęg dziesiątki. Niech $m \geqslant n$ i $a = a_m 10^m + \dots + a_1 10^1 + a_0 10^0$ , $b = b_n 10^n + \dots + b_1 10^1 + b_0 10^0$ .

Wówczas $\begin{align} a \cdot b & = (a_m 10^m + \dots + a_1 10^1 + a_0 10^0) \cdot (b_n 10^n + \dots + b_1 10^1 + b_0 10^0) = \\ & = a_m 10^m b_n 10^n + \dots + a_m 10^m b_1 10^1 + a_m 10^m b_0 10^0 + \dots + a_0 10^0 b_1 10^1 + a_0 10^0 b_0 10^0 = \\ & = a_m b_n 10^{m+n} + \dots + a_m b_1 10^{m+1} + a_{m-1} b_2 10^{m+1} + \dots + a_1 b_0 10^{1 + 0} + a_0 b_1 10^{0 + 1} + a_0 b_0 10^{0 + 0} = \\ & = a_m b_n 10^{m+n} + \dots + (a_m b_1 + a_{m-1} b_2 + \dots + a_{m-n+1} b_n)10^{m+1} + \dots + (a_1 b_0 + a_0 b_1) 10^1 + a_0 b_0 10^0, \end{align}$

przy czym trzecia równość odpowiada mnożeniu poszczególnych cyfr, a ostatnia – końcowemu sumowaniu.

Szkoła podstawowa – pierwszy etap formalnej edukacji. W większości krajów nauka w szkole podstawowej jest obowiązkowa. Nauczanie poza szkołą tzw. edukacja domowa legalne jest m.in. w krajach anglosaskich, w Chile i na Tajwanie.
Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)