Moc zbioru - Polski Serwis Naukowy

Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (skr. ZF) – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r., który został później uzupełniony przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o aksjomat wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.
Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

Liczba kardynalna jest naturalnym uogólnieniem liczby elementów zbioru skończonego, w szczególności moc zbioru n–elementowego wynosi dokładnie n.

Georg Cantor, twórca teorii mnogości, określał moc zbioru jako tę własność, którą otrzymamy abstrahując od charakteru elementów zbioru i ich wzajemnych relacji takich, jak np. uporządkowanie.

Intuicje

Dla sprawdzenia, czy w grupie przedszkolaków jest więcej chłopców, czy dziewczynek, można użyć dwóch metod. Pierwsza polega na policzeniu z osobna liczby chłopców i liczby dziewczynek i porównaniu obu tych liczb; druga sprowadza się do ustawienia dzieci w pary w ten sposób, by chłopcy stali z dziewczynkami i sprawdzenia, czy bez pary zostaną chłopcy, czy dziewczynki.

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.
Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Druga metoda ma tę zaletę, że pozwala przenieść pojęcie "tyle samo elementów" na dowolne zbiory, również nieskończone. Co więcej, pozwala precyzyjnie zdefiniować tak "naturalne" i "oczywiste" pojęcia jak zbiór skończony i zbiór nieskończony.

Ustawianie dzieci w pary jest niczym innym, jak określaniem funkcji ze zbioru chłopców do zbioru dziewczynek. Jeżeli każdy chłopiec stoi w parze z jedną dziewczynką i na odwrót, to oczywiście dzieci obu płci jest tyle samo.

Powyższa obserwacja prowadzi do możliwości wprowadzenia następującej definicji równoliczności zbiorów

Hipoteza continuum (skr. CH, od ang. continuum hypothesis) – postawiona przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.
Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

Zbiory A i B są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna.

Zbiory przeliczalne

Wprowadzenie powyższej definicji równoliczności prowadzi do zaskakujących konsekwencji – okazuje się, że w przypadku zbiorów nieskończonych zawodzą intuicje nabyte podczas obcowania ze zbiorami skończonymi. Na przykład:

Paul Joseph Cohen, (ur. 2 kwietnia 1934 w Long Branch, w stanie New Jersey, w USA; zm. 23 marca 2007, Stanford, Kalifornia), matematyk amerykański, od 1964 prof. Stanford University.
Zbiór skończony - oznacza w matematyce zbiór równoliczny ze zbiorem {1, 2, ..., n} dla pewnej liczby naturalnej n. Definicja ta obejmuje również zbiór pusty, wystarczy przyjąć n = 0.

Zbiór parzystych liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych (innymi słowy, zbiór nieskończony może być równoliczny ze swoim właściwym podzbiorem!) – funkcja wzajemnie jednoznaczna może być opisana, na przykład jako ciąg par {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), ... }
Podobnie zbiór nieparzystych liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych.

Zbiór liczb pierwszych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (argumentacja podobna jak wyżej)

Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych. Funkcja wzajemnie jednoznaczna między tymi zbiorami może być opisana, na przykład, w postaci ciągu: {(1,0), (2,1), (3,−1), (4,2), (5,−2), (6,3), (7,−3)...}

Zbiory skończone lub równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych nazywane są zbiorami przeliczalnymi. Można wykazać, że zbiory liczb wymiernych i algebraicznych są przeliczalne (nieskończone). Ponadto, można wykazać, że dla każdego zbioru nieskończonego istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru liczb naturalnych na jego właściwy podzbiór. To oznacza, że moc zbioru liczb naturalnych jest najmniejszą spośród mocy zbiorów nieskończonych. Liczbę kardynalną odpowiadającą mocy zbioru liczb naturalnych oznacza się hebrajską literą alef z indeksem 0: $\aleph_0$ .

Twierdzenie Hartogsa - twierdzenie w teorii mnogości ZF (bez aksjomatu wyboru), udowodnione w 1915 roku przez niemieckiego matematyka, Friedricha Hartogsa, mówiące, że
Teoria pcf – dział teorii mnogości blisko związany z arytmetyką liczb kardynalnych. Skrót pcf pochodzi od angielskiego zwrotu possible cofinalities (możliwe współkońcowości), który odzwierciedla jeden z centralnych obiektów rozważanych w tej teorii – zbiór współkońcowości pewnych zredukowanych porządków produktowych.

Zbiory nieprzeliczalne

Zbiorami nieprzeliczalnymi nazywa się zbiory nieskończone, które nie są przeliczalne. Georg Cantor wykazał, że przedział [0,1] jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie, używając metody przekątniowej, udowodnił, że moc przedziału [0,1] (równa mocy zbioru liczb rzeczywistych) jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych. Liczbę kardynalną określającą moc zbioru liczb rzeczywistych oznacza się symbolem $\mathfrak{c}$ lub $2^{\aleph_0}$ . Można wykazać, że liczb rzeczywistych jest dokładnie tyle, ile podzbiorów zbioru liczb naturalnych, to znaczy zbiór potęgowy zbioru liczb naturalnych, oznaczany symbolem $\mathbf{2}^{\mathbb{N}}$ lub $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ , jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych (uzasadnia to drugi z wprowadzonych symboli).

Działanie dwuargumentowe (binarne) to w matematyce funkcja, która każdej parze uporządkowanej dwóch elementów danego zbioru X przypisuje określony element pewnego zbioru Y.
Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm. 21 października 1969 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej.

W pracy z roku 1906 Gerhard Hessenberg udowodnił twierdzenie (nazwane przez Ernsta Zermelo twierdzeniem Cantora), które mówi, że Jeśli $X$ jest dowolnym zbiorem, a $\mathcal{P}(X)$ jest jego zbiorem potęgowym, to znaczy rodziną wszystkich jego podzbiorów, to nie istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru $\mathcal{P}(X)$ w zbiór $X$ .

Innymi słowy, zbiór potęgowy danego zbioru X jest zawsze większy w sensie mocy od samego zbioru X. Powyższe twierdzenie może służyć jako maszyna do produkowania zbiorów coraz większej mocy – wychodząc od zbioru liczb naturalnych $\mathbb{N}$ zbiory $\mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))), \ldots$ są coraz większe w sensie mocy. Innym klasycznym twierdzeniem teorii mnogości, które – w pewnym sensie – mówi o tym, że istnieje nieskończenie wiele rodzajów nieskończoności jest twierdzenie Hartogsa.

Zbiór nieprzeliczalny – zbiór, który nie jest przeliczalny. Inaczej: zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (zatem ma większą moc). Pojęcie zbioru nieprzeliczalnego pochodzi od Georga Cantora.
Duże liczby kardynalne (ang. large cardinals) – liczby kardynalne których istnienia nie można udowodnić w ZFC i co więcej takie, dla których niesprzeczność istnienia nie wynika z niesprzeczności ZFC, a jednocześnie można wykazać niesprzeczność nieistnienia tych liczb.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)