Model statystyczny - Polski Serwis Naukowy

Model statystyczny – hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub układu równań), który przedstawia zasadnicze powiązania występujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami rzeczywistymi.

Bardziej formalnie jest to parametryzowana rodzina rozkładów łącznych rozważanych zmiennych, stąd druga nazwa przestrzeń statystyczna.

Modele statystyczne używane w ekonometrii noszą nazwę modeli ekonometrycznych.

Estymacja to dział wnioskowania statystycznego będący zbiorem metod pozwalających na uogólnianie wyników badania próby losowej na nieznaną postać i parametry rozkładu zmiennej losowej całej populacji oraz szacowanie błędów wynikających z tego uogólnienia. Wyrażenie nieznana postać jest kluczem do odróżnienia estymacji od drugiego działu wnioskowania statystycznego, jakim jest weryfikacja hipotez statystycznych, w którym najpierw stawiamy przypuszczenia na temat rozkładu, a następnie sprawdzamy ich poprawność.
Test statystyczny - formuła matematyczna pozwalająca oszacować prawdopodobieństwo spełnienia pewnej hipotezy statystycznej w populacji na podstawie próby losowej z tej populacji.

Formalna definicja matematyczna

Niech $\mathcal{P}=\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\}$

będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby $\mathcal{X}$ , indeksowaną parametrem $\theta\;$ (w szczególności może to być wektor parametrów rzeczywistych). $P_\theta\;$ opisuje wielowymiarowy łączny rozkład wszystkich obserwacji w próbie $X\;$ .

Formalnie model statystyczny to para:

Zmienna objaśniająca / egzogeniczna / zewnętrzna / predyktor – jest to zmienna w modelu statystycznym (czyli także np. w modelu ekonometrycznym), na podstawie której wylicza się zmienną objaśnianą (endogeniczną). Zmiennych objaśniających zwykle występuje wiele w jednym modelu.
Statystyka – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.

$(\mathcal{X},\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\})$

Niech próba opisywana przez rozkład $P_\theta$ będzie wektorem $X=(X_1,X_2,\dots,X_n)$ niezależnych zmiennych losowych z których każda ma rozkład $P_\theta^\prime$ a jej zbiorem wartości jest $\mathcal{X}^\prime$ . $X$ nazywany jest $n$ -elementową próbą z rozkładu $P_\theta^\prime$ .

W takim przypadku stosowany jest również zapis $(\mathcal{X}^\prime,\{P_\theta^\prime \colon \theta \in \Theta\})^n$

W praktycznych zastosowaniach podaje się po prostu warunek, jaki spełniają rozkłady z rodziny $\mathcal{P}$ . Zmienne losowe występujące w tym warunku determinują przestrzeń próby $\mathcal{X}$ , a parametry tworzą wektor $\theta$ .

Model nieparametryczny

Model nieparametryczny to model w którym nie istnieje skończenie wymiarowa parametryzacja rodziny rozkładów, czyli nie da się go zapisać w takiej postaci, że

Zmienna objaśniana (zmienna endogeniczna, zmienna odpowiedzi, zmienna prognozowana, zmienna wewnętrzna) - jest to zmienna, której wartości są estymowane przez model statystyczny (w szczególności model ekonometryczny). Jej przeciwieństwem jest zmienna objaśniająca / egzogeniczna.
Modelowanie matematyczne to użycie języka matematyki do opisania zachowania jakiegoś układu (na przykład układu automatyki, biologicznego, ekonomicznego, elektrycznego, mechanicznego, termodynamicznego).

$\Theta\subseteq \mathbb{R}^k, k\in\mathbb{N}$

Nie oznacza to braku jakiejkolwiek parametryzacji – to byłoby sprzeczne z definicją modelu statystycznego – np. $\Theta\;$ może być rodziną dystrybuant.

Model identyfikowalny

Jeśli zachodzi: $\theta_1 \ne \theta_2 \Rightarrow P_{\theta_1}\ne P_{\theta_2}$

to model nazywany jest identyfikowalnym. Oznacza to, że parametr $\theta\;$ jest jednoznacznie wyznaczony przez rozkład $P_\theta\;$ .

Modele liniowe

Ogólna postać liniowego modelu o G równaniach łącznie współzależnych i tylu zmiennych endogenicznych (objaśnianych) oraz K dodatkowych zmiennych egzogenicznych (objaśniających) przy liczbie t obserwacji:

Liczba stopni swobody, df (ang. degrees of freedom) – liczba niezależnych wyników obserwacji pomniejszona o liczbę związków, które łączą te wyniki ze sobą.
Regresja to w statystyce metoda, pozwalająca na zbadanie związku pomiędzy różnymi wielkościami występującymi w danych i wykorzystanie tej wiedzy do przewidywania nieznanych wartości jednych wielkości na podstawie znanych wartości innych.

$Y_{1t}=\alpha_{10}+\alpha_{11}X_{1t}+\alpha_{12}X_{2t}+...+\alpha_{1K}X_{Kt}+\beta_{12}Y_{2t}+\beta_{13}Y_{3t}+...+\beta_{1G}Y_{Gt}+\xi_{1t}\;$

$Y_{2t}=\alpha_{20}+\alpha_{21}X_{1t}+\alpha_{22}X_{2t}+...+\alpha_{2K}X_{Kt}+\beta_{21}Y_{1t}+\beta_{23}Y_{3t}+...+\beta_{2G}Y_{Gt}+\xi_{2t}\;$

$.....................................................................................................................\;$

$Y_{Gt}=\alpha_{G0}+\alpha_{G1}X_{1t}+\alpha_{G2}X_{2t}+...+\alpha_{GK}X_{Kt}+\beta_{G1}Y_{1t}+\beta_{G2}Y_{2t}+...+\beta_{G G-1}Y_{G-1 t}+\xi_{Gt}\;$

Linia trendu

Najprostszym modelem stosowanym w prognozie jest linia trendu, w której zakładamy następującą zależność między zmienną objaśniającą $t$ (oznaczającą czas) a zmienną objaśnianą $Y$ : $Y=at+b+\varepsilon$

gdzie:

$a, b$ – stałe współczynniki

$\varepsilon$ – błąd losowy o rozkładzie normalnym i wartości oczekiwanej zero.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)