Moduł - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zapoznaj się również z: moduł liczby, moduł w teorii modeli.

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

Pierścień endomorfizmów – w algebrze abstrakcyjnej pierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Definicja

Niech $R$ będzie pierścieniem z jedynką. Modułem (lewostronny) nad $R$ nazywa się taką strukturę algebraiczną (M, +, 0, μ), że

(M, +, 0) jest grupą abelową,

funkcja $\mu\colon R \times M\ni (r,x) \mapsto rx\in M$ spełnia dla wszystkich $r, s \in R$ oraz $\mathsf x, \mathsf y \in M$ następujące warunki:

przy czym $1$ oznacza jedynkę pierścienia $R$ .

Działanie pierścienia na grupie

Jeżeli przyjąć $\mu_r(\mathsf x) = r\mathsf x$ oraz rozpatrywać funkcję $\hat\mu\colon r \mapsto \mu_r,$ to pierwszy aksjomat mówi w istocie, że odwzorowania $\mu_r$ są homomorfizmami grupowymi $M,$ zaś trzy pozostałe zapewniają, że $\hat\mu$ jest homomorfizmem pierścienia $R$ w pierścień endomorfizmów $\mbox{End}(M).$ Stąd moduł może być traktowany jako działanie pierścienia na grupie abelowej (por. działanie grupy). W tym sensie teoria modułów uogólnia teorię reprezentacji, która zajmuje się badaniem działań grupy na przestrzeniach liniowych lub, równoważnie, pierścieniami grupowymi.

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.
Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.

Rodzaje

Zwykle pisze się po prostu lewostronny R-moduł M lub ${}_RM.$ Prawostronny $R$ -moduł $M$ lub $M_R$ definiuje się podobnie z tą różnicą, że pierścień działa prawostronnie, tzn. mnożenie przez skalar jest odwzorowaniem $M \times R \to M$ z powyższymi aksjomatami zapisanymi ze skalarami $r, s \in R$ po prawej stronie elementów $\mathsf x, \mathsf y \in M.$ Tę samą strukturę można otrzymać, zapisując mnożenie przez skalar po lewej stronie, ale zastępując warunek (3) przez

Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) - dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.
Teoria modułów – dział algebry, którego przedmiotem badań są moduły. Dziedzina ta ma wiele ważnych zastosowań zarówno w algebrze, jak i w innych działach matematyki.

W ogólnym przypadku nie ma potrzeby tworzenia oddzielnych teorii modułów lewo- i prawostronnych – jeśli $M$ jest modułem lewostronnym (prawostronnym) nad $R,$ to można go utożsamiać z modułem prawostronnym (lewostronnym) nad $R^0,$ gdzie symbol $R^0$ oznacza pierścień przeciwny do $R,$ tzn. zbiory $R$ i $R^0$ są równe, działania dodawania i elementy wyróżnione w obu pierścieniach pokrywają się, natomiast jeśli $(a, b) \mapsto ab$ jest działaniem mnożenia dla $a, b \in R,$ to $(a, b) \mapsto ba$ określa mnożenie w $R^0.$ W dalszej części artykułu moduły lewostronne będą nazywane krótko modułami.

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności. Zajmuje się on strukturami algebraicznymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego faktoryzacją i znajdowaniem ich pierwiastków, jednakże algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).

Autorzy, którzy nie wymagają, aby pierścienie miały jedynkę (były unitarne), pomijają czwarty aksjomat powyższej definicji, a struktury powyższego rodzaju nazywają „unitarnymi modułami lewostronnymi” (bądź modułami lewostronnymi z jedynką). W tym artykule jednak, przyjmuje się, że wszystkie pierścienie i moduły mają jedynkę (są unitarne).

Działanie dwuargumentowe (binarne) to w matematyce funkcja, która każdej parze uporządkowanej dwóch elementów danego zbioru X przypisuje określony element pewnego zbioru Y.
Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur - funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury A w uniwersum struktury B, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

Gdy $R$ jest pierścieniem przemiennym, to warunki (3) i (3') są równoważne – wówczas mówi się po prostu o module nad $R.$ Moduł zarazem lewostronny i prawostronny, w którym oba mnożenia są ze sobą zgodne nazywa się bimodułem.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)