Moduł liczby zespolonej - Polski Serwis Naukowy

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo $5$ jest wartością bezwzględną tak liczby $5$ jak i $-5.$

Uogólnienia wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych można odnaleźć w wielu innych miejscach. Przykładowo wartość bezwzględną można zdefiniować dla liczb zespolonych, kwaternionów, pierścieni uporządkowanych, ciał, czy przestrzeni liniowych. W wielu różnych kontekstach matematycznych i fizycznych pojęcie wartości bezwzględnej wykazuje bliski związek z pojęciami wielkości, odległości, czy też metryki oraz normy.

Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się o pojęcie równoliczności dwóch zbiorów - zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.
Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą ani liczbą złożoną.

Terminologia i notacja

Wprowadzenie terminu „moduł”, jako jednostki miary we francuskim, przypisuje się Jean-Robertowi Argandowi w 1806 roku, szczególnie w odniesieniu do liczb zespolonych. Niżej „wartość bezwzględna” odnosić się będzie przede wszystkim do liczb rzeczywistych, „moduł” zaś do liczb zespolonych i kwaternionów, ciał i pierścieni.

Aksjomat Archimedesa to aksjomat geometrii głoszący, że każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości każdego innego odcinka. Z niego wynika nieograniczoność prostej. Został on wbrew nazwie sformułowany po raz pierwszy przez Eudoksosa, a nazwany w ten sposób przez Otto Stoltza w 1883. Geometrie nie spełniające go zwane są niearchimedesowymi.
Płaszczyzna zespolona (p. Arganda, Gaussa) – w matematyce, geometryczna reprezentacja współrzędnych zespolonych, tworzona przez oś rzeczywistą i oś urojoną. Można ją określić jako zmodyfikowany kartezjański układ współrzędnych, z częścią rzeczywistą reprezentowaną przez oś "x" i częścią urojoną reprezentowaną przez oś "y".

Notacja $|a|$ oznaczająca wartość bezwzględną $a$ została wprowadzona przez Karla Weierstrassa w 1841 roku. Innym oznaczeniem, stosowanym przede wszystkim w informatyce, jest $\operatorname{abs}(a).$

Definicja i własności

Liczby rzeczywiste

Wykres funkcji $y=|x|$

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ jej wartość bezwzględną lub moduł, oznaczany symbolem $|a|$ (kreska pionowa po obu stronach liczby) definiuje się jako $|a| = \begin{cases} a & \mbox{dla } a \geqslant 0 \\ -a & \mbox{dla } a < 0. \end{cases}$

Z powyższej definicji wynika, że wartość bezwzględna $a$ jest zawsze liczbą nieujemną (dodatnią bądź zerem). Ten sam symbol stosuje się niekiedy do oznaczenia kardynalności (mocy) zbioru; znaczenie zależy od kontekstu.

Rejestry procesora to komórki pamięci o niewielkich rozmiarach (najczęściej 4/8/16/32/64/128 bitów) umieszczone wewnątrz procesora i służące do przechowywania tymczasowych wyników obliczeń, adresów lokacji w pamięci operacyjnej itd. Większość procesorów przeprowadza działania wyłącznie korzystając z wewnętrznych rejestrów, kopiując do nich dane z pamięci i po zakończeniu obliczeń odsyłając wynik do pamięci.
Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M, o współczynnikach z pierścienia przemiennego R (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych), pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem detM), która spełnia następujące warunki:

Z punktu widzenia geometrii analitycznej wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością tej liczby od zera wzdłuż prostej rzeczywistej; w ogólności wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb rzeczywistych odpowiada odległości między nimi. Istotnie, matematyczne pojęcie abstrakcyjnej funkcji odległości może być postrzegane jako uogólnienie bezwzględnej wartości różnicy (zob. sekcję Odległość).

Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Ponieważ zapis pierwiastka kwadratowego bez znaku oznacza dodatni pierwiastek kwadratowy, to

wzór ten niekiedy bywa nawet używany jako definicja wartości bezwzględnej.

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:

Wśród innych, ważnych własności wartości bezwzględnej należy wymienić:

Jeżeli $b > 0,$ to prawdziwe są także następujące dwie nierówności:

Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (ur. 31 października 1815 w Ostenfelde w Westfalii, zm. 19 lutego 1897 w Berlinie) – niemiecki matematyk, zwolennik arytmetyzacji analizy matematycznej, twórca precyzyjnego pojęcia granicy funkcji.
Asembler (z (ang.) assembler) – termin informatyczny związany z programowaniem i tworzeniem kodu maszynowego dla procesorów. W języku polskim oznacza on program tworzący kod maszynowy na podstawie kodu źródłowego (tzw. asemblacja) wykonanego w niskopoziomowym języku programowania bazującym na podstawowych operacjach procesora zwanym językiem asemblera, popularnie nazywanym również asemblerem. W tym artykule język programowania nazywany będzie językiem asemblera, a program tłumaczący – asemblerem.

$|a| \leqslant b \Leftrightarrow -b \leqslant a \leqslant b,$ $|a| \geqslant b \Leftrightarrow a \leqslant -b \mbox{ lub } b \leqslant a.$

Zależności te wykorzystywane są do rozwiązywania nierówności zawierających wartości bezwzględne: $|x - 3| \leqslant 9 \Leftrightarrow -9 \leqslant x - 3 \leqslant 9 \Leftrightarrow -6 \leqslant x \leqslant 12.$

Liczby zespolone

Wartością bezwzględną liczby $z$ jest odległość $r$ liczby $z$ od początku. Na diagramie można zauważyć, że $z$ oraz jej sprzężenie zespolone $\overline z$ mają tę samą wartość absolutną.

Ponieważ liczby zespolone nie są uporządkowane, to powyższa definicja dla liczb rzeczywistych nie może być wprost uogólniona na liczby zespolone. Jednakże tożsamość dana w równaniu (1):

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

$|a| = \sqrt{a^2}$

może być postrzegana jako motywacja następującej definicji.

Dla dowolnej liczby zespolonej $z = x + iy,$

gdzie $x$ oraz $y$ są liczbami rzeczywistymi, moduł bądź wartość bezwzględna liczby $z,$ oznaczane symbolem $|z|,$ są zdefiniowane wzorem $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$

Wynika z niego, że wartość bezwzględna liczby rzeczywistej $x$ jest równa modułowi tej liczby postrzeganej jako liczba zespolona, gdyż $|x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.$

Podobnie jak dla interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych, z twierdzenia Pitagorasa wynika, że moduł liczby zespolonej jest odległością tej liczby od początku płaszczyzny zespolonej i ogólniej, że moduł różnicy dwóch liczb zespolonych jest równa ich odległości.

Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z optymalizacją wypukłą.
Python – interpretowany, interaktywny język programowania stworzony przez Guido van Rossuma w 1990. Python posiada w pełni dynamiczny system typów i automatyczne zarządzanie pamięcią, jest zatem podobny do takich języków, jak Tcl, Perl, Scheme czy Ruby.

Zespolona wartość bezwzględna dzieli wszystkie własności rzeczywistej wartości bezwzględnej podane we wzorach (2)–(10). Dodatkowo, jeżeli $z = x + iy = r(\cos \varphi + i\sin \varphi),$

zaś $\overline z = x - iy$

jest sprzężeniem zespolonym $z,$ to $\begin{align} |z| & = r, \\ |z| & = |\overline z|\end{align}$

oraz $|z| = \sqrt{z \overline z},$

przy czym ostatni wzór jest zespolonym odpowiednikiem wspomnianego wyżej równania (1).

Kwadrat modułu $z$ dany jest wzorem

Domknięcie - w metodach realizacji języków programowania jest to obiekt wiążący funkcję oraz środowisko w jakim ta funkcja ma działać. Środowisko przechowuje wszystkie obiekty wykorzystywane przez funkcję, nie będące dostępne w globalnym zakresie widoczności. Realizacja domknięcia jest zdeterminowana przez język, jak również przez kompilator.
Wielkość to słowo, które może oznaczać rozmiar/rozmiary, poziom, ilość, odchylenie (także wskazówki przyrządu pomiarowego) lub cechę umysłu (charakteru osoby).

$|z|^2 = z \overline z = x^2 + y^2.$

W notacji macierzowej liczba zespolona $z$ dana jest jako macierz $\mathrm z = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix},$

wówczas moduł dany jest jako pierwiastek wyznacznika $\mathrm z:$ $|z| = \sqrt{\det \mathrm z}$

Ponieważ dodatnie liczby rzeczywiste tworzą podgrupę liczb zespolonych ze względu na mnożenie, to o module można myśleć jak o endomorfizmie grupy multiplikatywnej liczb zespolonych (zob. szczegóły).

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, dla elementów której określone jest pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości wektora w przestrzeni euklidesowej. Przestrzenie unormowane pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki takich jak, na przykład, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Szczególnie istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną dodatkową własność, związaną z ich strukturą metryczną. Historycznie to własnie pewne konkretne przestrzenie Banacha, które jako pierwsze pojawiły się w kręgu zainteresowań matematyków pierwszej połowy XX w., stały się podwaliną powstania abstrakcyjnej (aksjomatycznej) teorii przestrzeni unormowanych. Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.
Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)