Moment bezwładności - Polski Serwis Naukowy

Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.

Twierdzenie Steinera – twierdzenie mechaniki oraz wytrzymałości materiałów opisujące sposób znajdowania momentu bezwładności danej bryły względem danej osi przy danym momencie bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy bryły. Jego autorem jest Jakob Steiner.

Prędkość kątowa w fizyce – wielkość opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Moment bezwładności jako skalar

Definicja

Energia kinetyczna E punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określa wzór: $E = \frac 1 2 m v^2 \,$

Jeżeli punkt ten porusza się po okręgu wówczas jego energię można wyrazić w wielkościach fizycznych opisujących ruch obrotowy: $E =\frac 1 2 m r^2 \omega^2 = \frac 1 2 I \omega^2 \,$

Z powyższego wynika, że moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

Promień bezwładności ciała sztywnego jest to charakterystyczny wymiar tego ciała określający w sposób syntetyczny jego kształt i rozkład masy wewnątrz tego ciała względem pewnej osi. Promień bezwładności rb definiuje wzór

Wymiar wielkości fizycznej - wyrażenie danej wielkości za pomocą wielkości podstawowych danego układu wielkości fizycznych, w postaci iloczynu wielkości podstawowych w odpowiednich potęgach (wzorem wymiarowym, zbudowanym w oparciu o wzór definicyjny tej wielkości fizycznej).

$I = m r^2\,$

gdzie: $m\,$ – masa punktu, $r\,$ – odległość punktu od osi obrotu, $\omega \,$ - prędkość kątowa.

Moment bezwładności ciała składającego się z $n\,$ punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu: $I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar $ML^2\,$ . Zwykle mierzy się go w kg·m².

Ruch obrotowy bryły sztywnej to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można uważać za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego używa się odmiennych pojęć od używanych do opisania ruchu postępowego.

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach $dm\,$ , oraz niech $r\,$ oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór: $I = \int\limits_{V} r^2dm$

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości $V\,$ ciała.

Za pomocą momentu bezwładności $I\,$ bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową $\omega \,$ względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną $E_K\,$ tej bryły $E_K = \frac{1}{2}I\omega^2$

Przykłady

Momenty bezwładności przykładowych brył

Rura cylindryczna

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu $R_2\,$ i wewnętrznym $R_1\,$ , obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu $r\,$ , grubości $dr\,$ , długości $L\,$ i gęstości materiału $\rho\,$ (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to:

masa elementu: $dm=\rho dV\,$ ,

objętość elementu: $dV=(2\pi rdr)L\,$ ,

skąd wynika, że $dm=2\pi L\rho rdr\,$ ,

gdzie $dV\,$ jest objętością cylindrycznej powłoki o masie $dm\,$ .

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi: $I=\int r^2dm=2\pi L\int\limits^{R_{2}}_{R_{1}}\rho r^3dr = 2\pi L \rho \frac{R^{4}_{2}-R^{4}_{1}}{4}=\rho \pi (R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L\frac{R^{2}_{2}+R^{2}_{1}}{2}$

Całkowita masa cylindra $m\,$ równa się iloczynowi gęstości $\rho\,$ i objętości $V\,$ : $V=\pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L$

czyli: $m=\rho \pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1}) L$

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie $m\,$ , wewnętrznym promieniu $R_{1}\,$ oraz zewnętrznym $R_{2}\,$ wynosi: $I=\frac{1}{2}m(R^{2}_{2}+R^{2}_{1})$