Monoid - Polski Serwis Naukowy

Monoid - półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie, monoid to algebra $(S, e, *)$ , sygnatury $(0, 2)$ , gdzie S jest niepustym zbiorem, natomiast $*\colon S \times S \to S$

jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki:

$\forall_{a \in S}\; e *a = a *e = a$ (e jest elementem neutralnym),
$\forall_{a, b, c \in S}\; \left(a * b\right) * c = a *\left(b * c\right)$ (działanie jest łączne).

Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie: klasa półgrup ⊇ klasa monoidów ⊇ klasa grup.

Każdy monoid M jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry M. Jest to uogólnienie twierdzenia Cayley'a.

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Przykłady

Liczby naturalne (koniecznie z zerem) z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.

Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).

Monoid wolny. $\left(X^*, \varepsilon, \sim\right)$ - zbiór słów nad alfabetem $\,X\,$ , z $\varepsilon$ jako słowem pustym i $\,\sim\,$ jako operacją konkatenacji. Jeśli $X \,=\, \{0, 1\}$ , to słowami są na przykład: $110111,\,011000,\,000,\, 1111$ , a przykładami konkatenacji są:

$110111\,\sim\,000\,=\, 110111000$ , $\varepsilon\,\sim\,000\,=\,000$ .

Własność uniwersalności monoidu wolnego. Po utożsamieniu elementów zbioru X ze słowami jednoelementowymi można uznać X za podzbiór monoidu wolnego X*

Uniwersalność monoidu wolnego

$i: a \mapsto a$ , przy czym podzbiór ten generuje X* i odwzorowanie $i: X \rightarrow X^*$ ma następującą własność uniwersalności: dla dowolnego odwzorowania zbioru X w monoid M $\alpha: X \rightarrow M$ istnieje jedyny taki homomorfizm $\alpha^* : X^* \rightarrow {M}$ dla którego następujący diagram jest przemienny.

Zbiór wszystkich odwzorowań dowolnego zbioru M w zbiór M wraz z działaniem składania odwzorowań tworzy monoid. Jedynką jest w nim odwzorowanie identycznościowe na M. Półgrupę tę nazywa się często pełną półgrupą przekształceń lub półgrupą symetryczną.

Jeśli $\,\mathit{M}\,$ jest monoidem, $\,\mathit{A}\,$ jest półgrupą, a $h: \mathit{M} \rightarrow \mathit{A}$ jest homomorfizmem na $\,\mathit{A}\,$ , to $\,\mathit{A}\,$ jest monoidem.

Przypisy

Milne, op. cit., s. 31
Milne, op. cit., s. 31
Milne, op. cit., s. 32
Скорняков, op. cit., s. 60

Bibliografia

A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964.
Milne J. S.: [www.jmilne.org Group Theory]. [dostęp 2011-08-23].
Скорняков Л. А.: Элементы алгебры. Москва: Наука, 1986.