Naprężenie - Polski Serwis Naukowy

Naprężenie – miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie w dowolnym punkcie zależy od kierunku, w którym jest rozpatrywane. Mimo iż pole powierzchni przekroju A dąży do zera, czyli przekrój dąży do punktu, istotne jest jaki kierunek miała normalna do powierzchni przekroju: $\vec s = \mathop {\lim_{A \to 0}} {{\vec F } \over A}$

Wektor naprężenia występujący w dowolnym przekroju można rozłożyć na dwie składowe:

Wektor normalny jest to wektor prostopadły do płaszczyzny lub, w wypadku innych powierzchni, prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w danym punkcie. Pojęcie to używane jest w matematyce, fizyce, biologii molekularnej, grafice 3D.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

$\vec s = \sigma \vec n + \vec \tau$

gdzie: s – wektor naprężenia, F – wektor sił wewnętrznych w ciele działających w przekroju, A – pole przekroju, σ – składowa normalna (prostopadła do powierzchni), n – wektor normalny do powierzchni, τ – składowa ścinająca (równoległa do powierzchni).

Kartezjański układ współrzędnych

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

Wprowadzając w kartezjańskim układzie współrzędnych w dowolnym punkcie ciała, w którym występuje stan naprężenia, trzy przekroje prostopadłe do osi współrzędnych dowolnie zorientowanego prostokątnego układu współrzędnych, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σx, τxy, τxz, σy, τyx, τyz, σz, τzx, τzy.

Sześcian (właściwie sześcian foremny, inaczej heksaedr) to wielościan foremny o sześciu bokach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków. Ścinając w pewny sposób wierzchołki sześcianu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie sześcian ścięty.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład dla powierzchni "górnej" (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z zachodzi: $\vec s = \sigma_z \vec k + \tau_{zx} \vec i + \tau_{zy} \vec j = \sigma \vec n + \vec \tau$

gdzie: k = n – wersor osi z, a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; i, j – wersory osi odpowiednio x i y.

Naprężeniem głównym nazywamy wektor naprężenia σi, który jest prostopadły do płaszczyzny na którą działa. Odpowiada siłom ściskającym lub rozciągającym, a nie ścinającym — działającym wzdłuż płaszczyzny na którą działają.

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – w matematyce zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące warunki: τxy = τyx τxz = τzx τyz = τzy

W rozważanym punkcie można tak zorientować układ współrzędnych, iż naprężenia styczne są równe zeru a niezerowe pozostają wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające mu niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne.

Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

Definicja intuicyjna: Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Zapis tensorowy

Naprężenie w oderwaniu od kierunku powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ reprezentowany przez macierz zawierającą składowe naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem). W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość: $\vec s=\sigma_{ij} n^i \vec {g^j}$

gdzie: g – wektory bazowe układu współrzędnych lub w notacji tensorowej: $\vec{s} = \sigma \cdot \vec{n}$

Dowodzi się z prawa zachowania momentu pędu, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać: $\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} {\sigma_x} & {\tau_{xy}} & {\tau_{xz}} \\ {\tau_{xy}} & {\sigma_y} & {\tau_{yz}} \\ {\tau_{xz}} & {\tau_{yz}} & {\sigma_z} \end{pmatrix}$

Gdzie: $\sigma_x$ , $\sigma_y$ , $\sigma_z$ – składowe normalne $\tau_{xy}$ , $\tau_{xz}$ , $\tau_{yz}$ – składowe ścinające

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe

Każdy stan naprężenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe: Aksjator – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – powoduje zmianę objętości (gęstości) ciała i dla części materiałów nie prowadzi do powstania odkształceń trwałych. Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – zawsze doprowadza do zmiany postaci ciała i może prowadzić do odkształceń trwałych.

$\begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sigma_0 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_0 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sigma_{11} - \sigma_0 & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} - \sigma_0 & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} - \sigma_0\\ \end{pmatrix}$

Niezmienniki stanu naprężenia

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, posiada trzy niezmienniki, czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych $I_1$ , $I_2$ , $I_3$

Osobny artykuł: Naprężenie główne.

Zobacz też

odkształcenie

prawo Hooke'a

naprężenie w geologii

Przypisy

Rozważając punkt ma się na myśli sześcian elementarny o nieskończenie małej krawędzi.

Linki zewnętrzne

Fale naprężenia na linii - Applet (Spannungswellen auf einer Leitung - Applet - GER)