Nieliniowość - Polski Serwis Naukowy

W algebrze liniowy operator lub funkcję $f(x)$ opisujemy w następujący sposób:

addytywność, $\textstyle f(x + y)\ = f(x)\ + f(y);$

homogeniczność, $\textstyle f(\alpha x)\ = \alpha f(x).$

W przypadku niespełnienia powyższych założeń mamy do czynienia z nieliniowością. W przyrodzie większość oddziaływań opisuje się właśnie funkcjami nieliniowymi. Modelowanie rzeczywistości polega jednak na wykorzystaniu jak najprostszych narzędzi matematycznych i często zdarza się opisywać zjawiska nieliniowe funkcjami liniowymi, jak na przykład prawo Hooke'a, gdzie pewien obszar dla stosunkowo małych naprężeń zachowuje się prawie liniowo.

Oscylator harmoniczny - model teoretyczny w naukach ścisłych opisujący układ w parabolicznym potencjale — potencjał oscylatora harmonicznego, bądź krócej potencjał harmoniczny, czyli kwadratowa zależność potencjału od odległości V∼r, gdzie r jest odległością w N-wymiarowej przestrzeni, N zależy od konkretnej realizacji modelu. Ze względu na skalę modelowanych zjawisk wyróżnia się klasyczny oscylator harmoniczny oraz kwantowy oscylator harmoniczny.

Wahadło – ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

Linearyzacja

Czasami, kiedy nieliniowość utrudnia nam rozwiązanie problemu, stosuję się linearyzację, czyli sprowadzenie modelu matematycznego do funkcji liniowych. Tworzy się to na 2 sposoby: przez przybliżanie lub ucinanie członów nieliniowych.

Przykłady linearyzacji

Wahadło matematyczne opisujące ruch punktu materialnego zawieszonego na lince wyraża się równaniem różniczkowym: $\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \sin(\theta) = 0\,$ , ale gdy przyjmiemy pewne przybliżenia, kiedy $\sin(\theta) \approx \theta$ dla $\theta \approx 0$ , to ostatecznie otrzymamy dobrze znane równanie oscylatora: $\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \theta = 0\,$

Rozwijając w szereg Taylora : $\ln(1+x) = x - \tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^3}{3} - \cdots$ możemy zakończyć na członie liniowym i będziemy mieli równanie: $\ln(1+x) = x$

Naprężenie to miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Linki zewnętrzne

Katedra UNESCO badań nad dynamiką nieliniową we Wrocławiu

Centrum badań nad dynamiką nieliniową w Los Alamos (ang.)

Bibliografia

Murray J.D.2006 "Wprowadzenie do biomatematyki", Wydawnictwo naukowe PWN

Sznajd-Weron Katarzyna, 2004 "Czy ludzi można traktować jak cząstki? - spojrzenie fizyka (PDF)"