Nieskończoność - Polski Serwis Naukowy

Symbol nieskończoności ∞ w różnych krojach pisma.

Nieskończoność (symbol: ∞) – byt nieograniczony (w sensie wielkości bądź ilości), który przyjęło się oznaczać za pomocą znaku nieskończoności, $\infty$ , symbolem podobnym do przewróconej ósemki (lemniskata). Sam symbol zapewne oznacza powtarzalność cyfr w liczbach jak również to że całkowita suma cyfr w liczbie dąży do określonej cyfry od 1 do 9 gdyż system dziesiętny jest ogólnie przyjętą symboliką.

– używany głównie w matematyce symbol oznaczający nieskończoność, zaproponowany przez Johna Wallisa w De sectionibus conicis 1655 i konsekwentnie używany przez niego w późniejszych pracach (np. Arithmetica infinitorum - 1655 lub 1656). Inną czasami spotykaną nazwą tego symbolu jest lemniskata.

Granica – pojęcie używane w matematyce pojęcie na określenie zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.

Historia

Nieskończoność rozważana była już od czasów starożytności. Przez długi czas podchodzono do niej bardzo nieufnie - szybko zorientowano się, że pojęcie to prowadzi do wielu paradoksów (z których najbardziej znane to paradoksy Zenona z Elei). Zauważano także takie absurdy, jak fakt, że liczb naturalnych i kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo, co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.

Starożytność – okres w historii Bliskiego Wschodu, Europy i Afryki Północnej obejmujący dzieje tych regionów od powstania pierwszych cywilizacji do politycznego upadku cesarstwa zachodniorzymskiego w 476 roku[1].

Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

Badania pojęcia nieskończoności ograniczano jedynie do przypadku tak zwanej nieskończoności potencjalnej - zbiór jest nieskończony potencjalnie, jeżeli dla dowolnej liczby naturalnej n zawiera więcej niż n elementów. Z takim rozumieniem nieskończoności mamy do czynienia na przykład w analizie matematycznej, kiedy mówimy o granicy. Mówiąc, że ciąg (an) dąży do granicy g, gdy n dąży do nieskończoności, mamy na myśli fakt, że wyrazy (an) są dowolnie bliskie g dla odpowiednio dużych n. Nie zakładamy tu wcale istnienia żadnego nieskończonego bytu, a jedynie nieustającą możliwość powiększania (i analogicznie: nieustającą możliwość pomniejszania).

W popularnym mniemaniu, wieczność jest równoznaczna z nieskończonością, jednak przez wielu określana jest jako istnienie poza czasem. Wieczność występuje m.in. w eschatologii chrześcijańskiej, w której występuje wiara w pośmiertne życie wieczne. Jest wiele argumentów za istnieniem wieczności, których głosiciele, głównie Arystoteles, twierdzą, iż materia, siły i czas muszą istnieć wiecznie.

Saharon Shelah (hebr. שהרן שלח) (ur. 3 lipca 1945 w Jerozolimie), izraelski matematyk, laureat wielu nagród, w tym Nagrody Wolfa z matematyki w 2001 roku. Profesor matematyki na Uniwersytecie Hebrajskim w Jerozolimie i w Rutgers University (stan New Jersey).

Proklos Diadochus w V wieku naszej ery wyrażał to w taki sposób: wielkości są wprawdzie dzielone w nieskończoność, ale nie na nieskończenie wiele części. To ostatnie powodowałoby, że aktualnie byłoby nieskończenie wiele części, tamto pierwsze, że tylko potencjalnie; to ostatnie daje nieskończoności istnienie substancjalne, tamto przyznaje jej tylko stawanie się.

Jednak nie tylko starożytni czuli się niepewnie obcując z pojęciem nieskończoności. Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII wieku pisał:

Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

Paradoks Hilberta – paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudności w intuicyjnym rozumieniu pojęcia "ilości" elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów. Paradoks ten znany jest też pod nazwą paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta.

nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie nieskończonej.

Matematyka

Osobne artykuły: zbiór nieskończony, skala alefów i skala betów.

A jednak - w XIX wieku niemiecki matematyk Georg Cantor poważnie potraktował ideę aktualnej nieskończoności, a więc nieskończoności istniejącej jako samodzielny i konkretny byt. W tym rozumieniu nieskończoność jest pewnym obiektem, na którym możemy dokonywać operacji i który możemy porównywać z innymi obiektami. W istocie Cantora skłoniło do tych rozważań właśnie odkrycie, że jeżeli w pewien sposób zdefiniuje się dla zbiorów pojęcie równej liczby elementów, to niektóre zbiory nieskończone są liczniejsze niż inne (patrz rozumowanie przekątniowe).

Hipoteza continuum (skr. CH, od ang. continuum hypothesis) – postawiona przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Nieskończoności w tym rozumieniu nie tylko istnieją, ale też różnią się od siebie liczbą elementów. Istnieje właściwie nieskończenie wiele nieskończoności. Ściślej mówiąc, rozważać można nieskończoną hierarchię mocy zbiorów nieskończonych, tak zwaną hierarchię liczb kardynalnych. Kolejne moce zbiorów nieskończonych (liczby kardynalne) oznacza się symbolem pierwszej litery alfabetu hebrajskiego alef indeksowanym kolejnymi liczbami porządkowymi:

Intuicja (z łac. intuitio - wejrzenie) – proces myślowy polegający na szybkim dopasowaniu danej sytuacji, problemu, zagadnienia do znanych już szablonów i zależności. Objawia się w postaci nagłego przebłysku myślowego, w którym dostrzega się myśl, rozwiązanie problemu lub odpowiedź na nurtujące pytanie. Często mylona jest z przeczuciem o podłożu emocjonalnym. Natura intuicji wynika z tego, że jest ona procesem podświadomym, którego nie można kontrolować, można jedynie dopuszczać lub odrzucać podawane przez intuicję rozwiązania. Jest ona procesem bardziej kreatywnym i działającym na wyższym poziomie abstrakcji w porównaniu do myślenia logicznego.

Logika (gr. λόγος, logos - rozum) nauka normatywna, analizująca źródła poznania pod względem prawomocności czynności poznawczych z nimi związanych. Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Logika, jako dyscyplina normatywna, nie tylko opisuje jak faktycznie przebiegają rozumowania, ale także formułuje twierdzenia normatywne, mówiące o tym, jak rozumowania powinny przebiegać.

$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \dots < \aleph_k < \dots$

Liczby kardynalne można nie tylko porównywać, ale także przeprowadzać na nich operacje: dodawania, mnożenia czy potęgowania. Zaawansowana teoria potęgowania liczb kardynalnych (teoria PCF - possible cofinalities) została stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha.

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

Rozumowanie przekątniowe to klasyczny przykład rozumowania w dowodzie nie wprost. Za jego pomocą można wykazać na przykład, że moc zbioru liczb rzeczywistych z przedziału [0,1] jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych. Natychmiastowy wniosek z tego faktu podawany jest obrazowo: liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych.

Z początku wielu matematyków bardzo nieufnie podchodziło do rozważań Cantora i jego stosunku do nieskończoności aktualnej, uważając, że są one zbyt oddalone od intuicji. Okazało się jednak, że dzięki rozwojowi teorii mnogości, a w szczególności teorii mocy zbiorów nieskończonych, nastąpił gwałtowny rozwój podstaw matematyki. Z jednej strony dlatego, że Cantor uporządkował chaos definicyjny zastępując nieścisłe pojęcia wielkości i liczby pojęciami zbioru i mocy. Z drugiej strony, systematyczne i ścisłe badanie nieskończoności aktualnych szybko doprowadziło do problemów takich jak hipoteza continuum, które wymagały zrewidowania całego aparatu logiki matematycznej. Z kolei opozycjoniści zgłaszali zastrzeżenia do teorii mnogości wskazując na rozmaite paradoksy, związane zwłaszcza z koncepcją nieskończoności rozwijaną na jej gruncie. Doprowadziło to do rozwinięcia takich prądów jak konstruktywizm czy finityzm, których celem była przebudowa podstaw matematyki w sposób usuwający pojęcie nieskończoności aktualnej i przeformułowanie wszystkich twierdzeń w celu likwidacji paradoksów.

Teoria pcf – dział teorii mnogości blisko związany z arytmetyką liczb kardynalnych. Skrót pcf pochodzi od angielskiego zwrotu possible cofinalities (możliwe współkońcowości), który odzwierciedla jeden z centralnych obiektów rozważanych w tej teorii – zbiór współkońcowości pewnych zredukowanych porządków produktowych.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Zobacz też

Zobacz w Wikicytatach kolekcję cytatów
o nieskończoności

arytmetyka liczb kardynalnych,

regularna liczba kardynalna,

duże liczby kardynalne.