Niezmiennik przekształcenia - Polski Serwis Naukowy

Niezmiennik przekształcenia – w matematyce cecha obiektu poddawanego danemu przekształceniu, która nie ulega zmianie. Np. pomnożenie przez liczbę wymierną różną od 0 nie zmienia wymierności dowolnej liczby rzeczywistej, więc wymierność jest niezmiennikiem dla dowolnej liczby rzeczywistej i operacji mnożenia przez liczbę wymierną. Wynika z tego dosyć trywialny wniosek, że nie możemy w skończenie wielu operacjach mnożenia przez liczby wymierne przekształcić liczby wymiernej w niewymierną i odwrotnie.

Niezmiennik topologiczny to wielkość występująca w topologii i fizyce teoretycznej, liczba charakteryzująca rozmaitości topologiczne. Jest to wielkość, która pozostaje stała przy wszystkich dopuszczalnych topologicznie, a więc ciągłych, przekształceniach. Na przykład, jeśli rozważamy odwzorowanie okręgu w okrąg (czyli okręgu w samego siebie, porównaj homeomorfizm) to okazuje się, że wszystkie możliwe odwzorowania można zaklasyfikować ze względu na tak zwana liczbę nawinięć. Jest to liczbę mówiąca ile razy należy obiec okrąg będący obrazem przekształcenia przy pojedynczym obiegu okręgu wyjściowego. Liczba ta jest stała i składając badane przekształcenie z dowolnym innym ciągłym przekształceniem nie można jej zmienić. Tym samym zbiór wszystkich ciągłych przekształceń okręgu rozpada się na rozłączne klasy przekształceń, które nawijają okrąg na siebie raz, dwa razy, trzy razy, itd. Struktura tego zbioru odpowiada zatem zbiorowi liczb naturalnych (porównaj homotopia, klasy homotopii).

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Innym prostym, aczkolwiek mniej trywialnym przykładem jest tablica binarna z operacją polegającą na zmianie wartości w dokładnie dwóch komórkach (z zachowaniem binarnego charakteru tablicy, tzn 1 zamieniane jest na 0 i odwrotnie). Wtedy parzystość sumy elementów tablicy jest niezmiennikiem, ponieważ parzystość sumy elementów w tablicy się nie zmienia (bo dowolne przekształcenie zmienia sumę o 2 lub o 0). Wynika z tego m.in. to, że nie możemy korzystając tylko z podanej operacji zamienić tablicy o nieparzystej liczbie elementów, złożonej z samych jedynek zamienić w tablicę tej samej wielkości wypełnioną zerami. Wniosek ten można rozszerzyć - wynika z tego też, że zbiór wszystkich tablic o danej liczbie elementów możemy podzielić na dwa podzbiory takie, że żadnej tablicy z jednego podzbioru nie da się przekształcić w którąś tablicę z drugiego zbioru.

Program erlangeński – pogląd na istotę geometrii, zaproponowany przez Felixa Kleina na wykładzie inauguracyjnym na uniwersytecie w Erlangen w 1872. Program erlangeński został powszechnie przyjęty przez matematyków i obecnie stanowi podstawowe podejście do geometrii.

Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Niezmienniki przekształceń geometrycznych odegrały ważną rolę w propozycji Kleina uporządkowania geometrii (program erlangeński).

Zobacz też

niezmiennik topologiczny

punkt stały

zbiór niezmienniczy