Obrót - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zapoznaj się również z: inne znaczenia słowa "obrót".

Obrót dookoła punktu $P$ o kąt skierowany $\alpha$ jest to odwzorowanie geometryczne $O_P^\alpha$ płaszczyzny na siebie, takie, że:
1. jeśli $P = Q\,$ , to $O_P^\alpha(Q)=P$
2. jeśli $P \neq Q$ , to $O_P^\alpha(Q)=Q'$ , gdzie $PQ' = PQ\,$ oraz kąty skierowane $\angle QPQ' \mbox{ i } \alpha$ są przystające.
Punkt $P$ nazywa się środkiem obrotu, a kąt $\alpha$ kątem obrotu $O_P^\alpha$ .

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.

Kąt pełny - w geometrii kąt utworzony przez dwie pokrywające się półproste i równy całej płaszczyźnie, ma miarę równą 2π radianów, czyli 360°

Jeżeli $\alpha$ jest kątem zerowym lub kątem pełnym, to niezależnie od punktu $P$ , obrót $O_P^\alpha$ jest odwzorowaniem tożsamościowym, które nazywane jest obrotem zerowym.

Obrót płaszczyzny o kąt skierowany półpełny jest symetrią środkową.

Każdy obrót płaszczyzny można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przechodzących przez środek obrotu i tworzących kąt o mierze równej połowie miary kąta obrotu. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: złożenie dwóch symetrii osiowych $S_{l_2} \circ S_{l_1}$ o osiach $l_1$ i $l_2$ przecinających się w punkcie $P$ jest obrotem dookoła punktu $P$ o kąt skierowany dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez proste $l_1$ i $l_2$ .

Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.

Funkcja tożsamościowa a. identycznościowa – w matematyce funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego; intuicyjnie funkcja, która „nic nie robi”.

Obrót $O_P^\alpha$ jest izometrią parzystą płaszczyzny, mającą przynajmniej jeden punkt stały.
Okręgi i koła o środku w punkcie $P\,$ są figurami stałymi obrotu $O_P^\alpha$ .

Obrót wokół początku układu współrzędnych na płaszczyźnie o kąt $\beta\,$ punktu $P=(x,y)\,$ można opisać wzorem analitycznym $O_{(0,0)}^\beta(P)=(x^\prime, y^\prime)$ , gdzie $\left\{\begin{array}{l}x^\prime=x\cdot \cos\beta -y\cdot\sin\beta\\ y^\prime=x\cdot \sin\beta+y\cdot \cos\beta\end{array}\right.$ .

Obrót na płaszczyźnie zespolonej punktu $z=x+iy\,$ wokół początku układu współrzędnych o kąt $\phi\,$ można wyrazić wzorem $O_0^\phi(z)=z(\cos\phi+i\sin\phi)$ .

Kąt skierowany – para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.

Zobacz też

grupa obrotów

specjalna grupa ortogonalna

twierdzenie Cartana-Dieudonné