Obraz i przeciwobraz - Polski Serwis Naukowy

Funkcje matematyczne

dziedzina i przeciwdziedzina
obraz i przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
Kardioida (krzywa sercowa) – krzywa opisywana przez ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po zewnętrzu innego nieruchomego okręgu o tej samej średnicy. Kardioida jest odmianą epicykloidy.

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Obraz i przeciwobraz – w matematyce odpowiednio zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny oraz zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.
Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) - dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej $f \colon X \to Y$ oznacza funkcję zbioru $X$ w zbiór $Y.$ Obraz elementu Jeżeli $x$ jest elementem $X,$ to $f(x) = y,$ czyli wartość funkcji $f$ na elemencie $x,$ nazywa się obrazem $x$ poprzez $f.$ Obraz zbioru Obrazem zbioru $A \subseteq X$ w funkcji $f$ nazywa się podzbiór $f[A] \subseteq Y$ wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór $\left\{y \in Y\colon f(x) = y \mbox{ dla pewnego } x \in A\right\}.$ Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki $f[A]$ oznacza się zwykle symbolem $f(A).$ Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez $f$ jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru $X,$ a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru $Y.$ Obraz funkcji

Obraz $f[X]$ całej dziedziny $X$ nazywa się zwykle obrazem funkcji $f.$ Do innych oznaczeń należą również $f(X)$ (j.w.), $\operatorname{im}(f)$ (ang. image – obraz).

Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.
Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Przeciwobrazem zbioru $B \subseteq Y$ względem $f$ nazywa się podzbiór zbioru $X$ określony wzorem $f^{-1}[B] = \{x \in X\colon f(x) \in B\}.$

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem $f^{-1}[\scriptstyle\{y\}\textstyle]$ lub krótko $f^{-1}[y]$ nazywa się również włóknem nad $y$ bądź poziomicą lub warstwicą $y.$ Zbiór wszystkich włókien nad elementami $Y$ tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez $Y.$ Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.

Raz jeszcze, jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to $f^{-1}[B]$ można oznaczać symbolem $f^{-1}(B)$ i myśleć o $f^{-1}$ jako o funkcji ze zbioru potęgowego $Y$ w zbiór potęgowy $X.$ Oznaczenie $f^{-1}$ może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.

Licencje Creative Commons (CC) – zestaw licencji, na mocy których można udostępniać utwory objęte prawami autorskimi. Licencje te są tworzone i utrzymywane przez organizację Creative Commons.
Rodzina indeksowana – w matematyce uogólnienie pojęcia rodziny zbiorów analogiczne do uogólnienia zbioru przez ciągi. Rodzinę indeksowaną zbiorów definiuje się określając wpierw ogólniejsze pojęcie rodziny indeksowanej elementów.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)