Odchylenie standardowe - Polski Serwis Naukowy

Przykład dwóch populacji o tej samej średniej (100), ale różnych standardowych odchyleniach (10 i 50)

Odchylenie standardowe – klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne.

Intuicyjnie rzecz ujmując, odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartości jakiejś wielkości (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) są rozrzucone wokół jej średniej. Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej.

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. Pojęcie odchylenia zostało wprowadzone przez pioniera statystyki, Karla Pearsona w 1894 roku.

Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa lub krzywą dzwonową jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, socjalnych itp.
Skala interwałowa (przedziałowa) – jeden z rodzajów skal pomiarowych. Zmienna jest na skali interwałowej, gdy różnice między dwiema jej wartościami dają się obliczyć i mają interpretację w świecie rzeczywistym, jednak nie ma sensu dzielenie dwóch wartości zmiennej przez siebie. Innymi słowy określona jest jednostka miary, jednak punkt zero jest wybrany umownie.

Wyróżnia się:

odchylenie standardowe zmiennej losowej, będące właściwością badanego zjawiska. Daje się ono obliczyć na podstawie ścisłych informacji o rozkładzie zmiennej losowej. Rozkład ten w praktycznych badaniach nie jest zwykle znany.

odchylenie standardowe w populacji, które jest liczbą dającą się obliczyć dokładnie, jeśli znane byłyby wartości zmiennej dla wszystkich obiektów populacji; odpowiada odchyleniu zmiennej losowej, której rozkład jest identyczny z rozkładem w populacji.

odchylenie standardowe z próby, które jest oszacowaniem odchylenia standardowego w populacji na podstawie znajomości wyłącznie części jej obiektów, czyli właśnie tzw. próby losowej. Stosowane do tego celu wzory nazywane są estymatorami odchylenia standardowego.

Odchylenie standardowe zmiennej losowej

Odchylenie standardowe zmiennej losowej oznacza się tradycyjnie przez σ (małe greckie sigma) i definiuje jako pierwiastek kwadratowy wariancji.

Przedział ufności jest podstawowym narzędziem estymacji przedziałowej. Pojęcie to zostało wprowadzone do statystyki przez amerykańskiego matematyka polskiego pochodzenia Jerzego Spławę-Neymana.
Ronald Aylmer Fisher (ur. 17 lutego 1890 w Londynie, zm. 29 lipca 1962 w Adelajdzie) — genetyk i statystyk brytyjski, profesor eugeniki London School of Economics w latach (1933–1943) i profesor genetyki Uniwersytetu w Cambridge (1943–1957), członek Royal Society w Londynie (Towarzystwa Królewskiego). Anders Hald określił go jako "geniusza, który niemalże sam stworzył podstawy współczesnej statystyki", zaś Richard Dawkins jako "największego ze spadkobierców Darwina".

Jest ono dane wzorem:

gdzie $E(X)$ jest wartością oczekiwaną $X$ (dowód w przypisie ).

Zmienna losowa dyskretna

Dla dyskretnej zmiennej losowej, przyjmującej $n$ różnych wartości $x_1,x_2,\dots,x_n$ z prawdopodobieństwami odpowiednio $p_1,p_2,\dots,p_n$ odchylenie standardowe można obliczyć ze wzoru: $\sigma=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\mu)^2 p_i}} =\sqrt{\left(\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2 p_i}\right)-\mu^2}$

gdzie: $\mu=\sum\limits_{i=1}^n x_i p_i$

Zmienna losowa ciągła

Dla zmiennych ciągłych:

Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).
Losowanie ze zwracaniem lub losowanie z powtórzeniami - rodzaj wielokrotnego losowania, w którym powtarzane jest takie samo pojedyncze losowanie z tego samego zbioru możliwych wyników, np. wylosowany obiekt trafia z powrotem do puli przed następnym powtórzeniem losowania i tym samym może być wylosowany wielokrotnie. Przykładem losowania ze zwracaniem jest też wielokrotny rzut kością.

$\sigma = \sqrt{\int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx}\,$

gdzie $\mu = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx$

a $f(x)\$ jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa.

Odchylenie standardowe można zdefiniować dla niemal każdego rozkładu prawdopodobieństwa. Istnieją jednak rozkłady (np. rozkład Cauchy'ego), dla których jest ono nieskończone lub nie istnieje. W przypadku rozkładu normalnego, odchylenie posiada oczywistą interpretację, gdyż jest jednym z parametrów rozkładu, występuje jako $\sigma$ we wzorze na gęstość prawdopodobieństwa w tym rozkładzie:

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to w probabilistyce rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dający się opisać przez podanie wszystkich przyjmowanych przez nią wartości, wraz z prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich. Funkcja przypisująca prawdopodobieństwo do konkretnej wartości zmiennej losowej jest nazywana funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (probability mass function, pmf). Zachodzi:
Elżbieta Pleszczyńska (ur. 20 marca 1933) – statystyk, profesor zwyczajny nauk matematycznych, działaczka społeczna na rzecz pomocy niepełnosprawnym.

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} } e^{ \frac {-(x-\mu )^2} {2\sigma^2} }$

W przypadku innych rozkładów, choć zwykle można podać ścisły wzór wiążący parametry rozkładu z odchyleniem, interpretacja jego wartości jest już znacznie mniej naturalna, o ile w ogóle możliwa.

Dla zmiennych o rozkładach mieszanych dyskretno-ciągłych można zastosować wzór (1).

Odchylenie standardowe w populacji

Dla skończonych populacji odchylenie jest średnią kwadratową z różnic między wartościami zmiennej a ich średnią arytmetyczną. Odchylenie standardowe można obliczyć ze wzoru:

Statystyka – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.
Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

gdzie $x_i$ to kolejne wartości cechy w populacji, $\mu$ to wartość oczekiwana, $N$ to liczba obserwacji w populacji (dowód drugiej równości w przypisie ).
Uwaga: druga równość zachodzi tylko dla skończonej populacji, nie jest prawdziwa w przypadku odchylenia standardowego z próby, gdzie zamiast $\mu\;$ trzeba wziąć $\overline{x}$ .
Dla populacji z $N=1$ mamy $x_1=\mu$ , więc $\sigma=0$ .

Dobór losowy – w statystyce taki dobór elementów z populacji do próby statystycznej, w którym wszystkie elementy populacji (przedmiotów, regionów, ludzi, itp.) mają równe szanse (takie samo prawdopodobieństwo) dostania się do próby.
Skala porządkowa – jeden z rodzajów skal pomiarowych. Zmienne są na skali porządkowej, gdy przyjmują wartości, dla których dane jest uporządkowanie (kolejność), jednak nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)