Odcinek - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy części prostej. Zapoznaj się również z: miejscowość o tej nazwie.

Zobacz hasło odcinek w Wikisłowniku

Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

W przestrzeni trójwymiarowej z kartezjańskim układem współrzędnych XYZ odcinek o końcach $(x_1,y_1,z_1),\ (x_2,y_2,z_2)$ jest zbiorem punktów $(x,y,z)$ opisanych układem równań $\left\{ \begin{array}{l} x=x_1+t(x_2-x_1), \\ y=y_1+t(y_2-y_1), \\ z=z_1+t(z_2-z_1), \end{array} \right.$

albo równoważnie $\left\{ \begin{array}{l} x=(1-t)x_1+tx_2, \\ y=(1-t)y_1+ty_2, \\ z=(1-t)z_1+tz_2, \end{array} \right.$

gdzie $0\leqslant t\leqslant 1.$

W przestrzeni jednowymiarowej (na osi liczbowej) definicja ta ogranicza się do pierwszej równości: $x=x_1+t(x_2-x_1),\;$

czyli:

Przestrzeń dwuwymiarowa – potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o dwóch wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Jest to przestrzeń opisująca np. relacje między punktami na płaszczyźnie.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

$x=(1-t)x_1+tx_2\;$

przy $0\leqslant t\leqslant 1$ , stając się równoważną definicji przedziału $[x_1, x_2]$ .
W przestrzeni dwuwymiarowej powyższy układ sprowadza się do dwóch pierwszych równań. W przestrzeni o większej liczbie wymiarów należy dopisać kolejne równania.

Uogólnienie na przestrzenie wektorowe

W dowolnej przestrzeni wektorowej odcinek AB (tzn. odcinek o końcach A i B będących punktami tej przestrzeni) jest zbiorem punktów leżących "pomiędzy" A i B jako ich średnie ważone przy dowolnych nieujemnych wagach: $AB\ =\ \{ (1-t)\cdot A+t\cdot B :\ 0\leqslant t\leqslant 1\}.$

Dla przestrzeni z kartezjańskim układem współrzędnych definicja ta, poprzez rozpisanie warunków na poszczególne współrzędne, wprost sprowadza się do definicji podanej powyżej.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Nulka – znak graficzny przypominający okrąg (często dla większej czytelności pogrubiony) umieszczany na wykresach funkcji. Najczęściej służy do zaznaczania punktów nie należących do wykresu funkcji, początku półprostej, punktów nieciągłości oraz otwartych końców przedziałów; rzadziej innych punktów osobliwych funkcji.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne

W przestrzeni metrycznej odcinek o końcach A i B można definiować jako zbiór punktów X tej przestrzeni leżących "pomiędzy" A i B jako spełniających warunek: odległość od A do B równa jest sumie odległości od A do X i od X do B.

Algebraicznie warunek ten wyraża się jako równość: $\sigma_{AB}=\sigma_{AX}+\sigma_{XB},\;$

gdzie $\sigma_{PQ}$ jest odległością pomiędzy P i Q według metryki obowiązującej w danej przestrzeni.

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Geometria (gr. γεωμετρία; geo – ziemia, metria – miara) – dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

Zobacz też

prosta