Odejmowanie - Polski Serwis Naukowy

Odejmowanie – jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

Odejmowanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem minusa. Znak ten zbliżony jest do półpauzy, krótszy od pauzy (oba służą oznaczaniu myślnika) i dłuższy od dywizu (łącznika).

Odejmowanie liczb

Najczęściej używane jest odejmowanie liczb, np. $3-2=1,\;$ co czyta się: "trzy minus dwa równa się jeden" albo "trzy odjąć dwa równa się jeden".

Pauza oraz półpauza – dwa znaki typograficzne w postaci poziomej kreski usytuowanej w pobliżu średniej linii pisma lub nieco poniżej niej. Są graficzną prezentacją znaków pisarskich spełniających m.in. rolę myślnika lub separatora liczbowego.
Kongruencja a. przystawanie – relacja równoważności określona w danym systemie algebraicznym. Jedną z najbardziej znanych kongruencji jest przystawanie liczb całkowitych.

Odejmowanie pisemne liczb naturalnych

Poniżej podany jest przykład obliczania różnicy dwóch trzycyfrowych liczb: $654\;$ i $273\;$ . Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 4 \\ - & 2 & 7 & 3\end{matrix} \end{matrix}$

Cyfrą jedności $654\;$ jest $4;\;$ cyfrą jedności $273\;$ jest $3\;$
$4-3=1,\;$ więc na pozycji jedności pod kreską piszemy $1:\;$

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 4 \\ - & 2 & 7 & 3\end{matrix} \\ \;\;\begin{matrix} \ & \ & \ & 1\end{matrix} \end{matrix}$

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.
Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Cyfrą dziesiątek $654\;$ jest $5;\;$ cyfrą dziesiątek $273\;$ jest $7.\;$ Ponieważ $5<7\;$ i wynik wyszedłby ujemny "pożyczamy" $1\;$ z następnej pozycji. Oznacza to, że teraz dodajemy $10,\;$ a przy następnej cyfrze odejmiemy $1.\;$ Mamy zatem $15-7=8;\;$ piszemy $8\;$ pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a $1\;$ pożyczamy z kolumny setek, co można sobie zanotować na boku:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & -1 & \ & \ \\ \ & 6 & 5 & 4 \\ - & 2 & 7 & 3\end{matrix} \\ \;\begin{matrix} \ & \ & \ &8 & 1\end{matrix} \end{matrix}$

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Pozostała kolumna setek: odejmujemy $6-2-1\;$ (ten 1 to "pożyczka") z trzeciej kolumny otrzymując $3,\;$ piszemy $3\;$ w kolumnie setek pod kreską:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ -1 & \ \\ \ & 6 & 5 & 4 \\ - & 2 & 7 & 3\end{matrix} \\ \;\;\;\begin{matrix} \ & 3 &\ \ 8 & 1\end{matrix} \end{matrix}$

otrzymując wynik $654 - 273 = 381.\;$

W ten sposób odejmuje się zawsze mniejszą liczbę od większej. Jeśli chcemy odjąć większą od mniejszej, zamieniamy je, odejmujemy a na koniec przed wynikiem stawiamy znak minusa (gdyż wynik będzie wtedy liczbą ujemną). Na przykład chcąc obliczyć $23-54,\;$ obliczamy $54-23=31,\;$ a następnie dostawiamy minus otrzymując $23-54=-31.\;$

Ten sam algorytm może służyć do odejmowania liczb w dowolnym systemie pozycyjnym.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).
Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

Odejmowanie liczb całkowitych

Możliwe są cztery przypadki, różniące się znakiem odejmowanych liczb:

Jeśli obydwie są nieujemne, odejmujemy je tak jak liczby naturalne powyżej. Znak różnicy zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.

Jeśli obydwie są ujemne (oznaczmy je $-a\;$ i $-b\;$ ), to wynikiem jest różnica ich wartości bezwzględnych $a\;$ i $b\;$ zapisanych w odwrotnej kolejności: $(-a)-(-b)=b-a.\;$ Tu również znak zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.

Jeśli pierwsza liczba jest nieujemna $(a)\;$ a druga ujemna $(-b)\;$ , to odejmowanie sprowadza się do dodawania ich wartości bezwzględnych: $a-(-b)=a+b\;$ .

Jeśli pierwsza liczba jest ujemna $(-a)\;$ a druga nieujemna $(b)\;$ , to odejmowanie sprowadza się do dodania ich wartości bezwzględnych i zmiany znaku wyniku: $-a-b=-(a+b)\;$ .

Zamiast tych reguł wystarczy pamiętać jedną: odjąć liczbę $b$ - to znaczy dodać przeciwną do niej liczbę $-b$ .

Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.
Działanie – w matematyce i logice jest to operacja na jednym lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami, wynikiem której jest element nazywany wynikiem działania.

Odejmowanie ułamków

Dla liczb wymiernych $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ odejmowanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

Wówczas można zastosować wzór: $\frac{k}{m}-\frac{l}{m}=\frac{k-l}{m}$

Najmniejszym wspólnym mianownikiem, jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników odjemnej i odjemnika.

Przykład:

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

$\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3\times 3}{4\times 3}-\frac{1\times 2}{6\times 2}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{9-2}{12}=\frac{7}{12}$

Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika najłatwiej wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Odejmowanie sprowadza się wtedy do wzoru: $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{cb}{db}=\frac{ad-cb}{bd}$

Przykład:

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

$\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3\times 6}{4\times 6}-\frac{1\times 4}{6\times 4}=\frac{3\times 6-1\times 4}{4\times 6}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}$

W przypadku odejmowania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć obydwie liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ & \ \\ \ & 1 & 2, & 5 & \ \\ - & \ & 5, & 8 & 1 \end{matrix}\\ \;\;\begin{matrix} \ & \ & 6, & 6 & 9\end{matrix} \end{matrix}$

Definicja formalna

Formalnie odejmowanie definiowane jest jako działanie odwrotne do dodawania: $a-b=c\Leftrightarrow a=b+c\;$ .

Działanie odejmowania można także zdefiniować osobno dla każdego rodzaju liczb:

odejmowanie dwóch liczb całkowitych $a-b\;$ i $c-d\;$ (gdzie $a,b,c,d\in\mathbb{N}$ ) określone jest wzorem

$(a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c)\;$ ;

odejmowanie dwóch liczb wymiernych określone jest wzorem

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}\;$ (w ogólności wzór ten jest definicją odejmowania w dowolnym ciele ułamków);

odejmowanie dwóch liczb rzeczywistych jest określone następująco: jeżeli $a_n\;$ jest ciągiem Cauchy'ego zbieżnym do $A\;$ , a $b_n\;$ jest zbieżnym do $B\;$ to ciąg $c_n=a_n-b_n\;$ jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do $C=A-B,\;$ ;

odejmowanie dwóch liczb zespolonych określone jest wzorem

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\;$ ;

odejmowanie dwóch kwaternionów określone jest wzorem

$(a+bi+cj+dk)-(p+qi+rj+sk)=(a-p)+(b-q)i+(c-r)j+(d-s)k\;$ .

Własności różnicy wynikające z własności odjemnej i odjemnika

Kolejność wykonywania działań

Odejmowanie wykonujemy od lewej do prawej:

Półgrupa to struktura algebraiczna, na którą składa się pewien zbiór wraz z określonym w nim działaniem, przy czym działanie to musi być łączne i wewnętrzne. Szczególnymi przypadkami półgrup są monoid i grupa.
Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

$a-b-c-d=((a-b)-c)-d\;$

Kolejność wykonywania odejmowania ma znaczenie (odejmowanie nie jest łączne): $(4-3)-2=1-2=-1\;$

ale $4-(3-2)=4-1=3\;$

Odejmowanie nie jest również przemienne, zamiana argumentów zmienia znak różnicy: $10-4=6\;$

ale $4-10=-6\;$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)