Okrąg opisany na wielokącie - Polski Serwis Naukowy

Wpisany w okrąg wielokąt z zaznaczonymi symetralnymi.

Okrąg opisany na wielokącie – okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta.

Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest wówczas środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym wielokącie niewypukłym nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym wielokącie wypukłym można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta, prostokąta oraz wielokąta foremnego.

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Wielokąt (albo wielobok) – spójny obszar powierzchni dwuwymiarowej, ograniczony przez zamkniętą krzywą złożoną z co najmniej trzech punktów (wierzchołków wielokąta) połączonych odcinkami (bokami wielokąta), przy czym w każdym wierzchołku kończą się dokładnie dwa boki. Punkty boków również należą do wielokąta.

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach równych odpowiednio a, b, c wynosi: $R=\frac{1}{4P}abc$ (gdzie P jest polem trójkąta)

Promień możemy wyznaczyć też z twierdzenia sinusów, ze wzoru: $2R={a \over \sin\alpha} = {b \over \sin\beta} = {c \over \sin\gamma}$

Przykład

Wystarczy znać długość boku i leżącego naprzeciwko niego kąta, np. mając dane a i α obliczamy

Okrąg wpisany w wielokąt to okrąg, który jest styczny do każdego boku wielokąta. Odcinki łączące środek okręgu wpisanego z punktami styczności na bokach wielokąta są do nich prostopadłe i są promieniami tego okręgu.

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.

$R=\frac{a}{2\sin\alpha}$

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy c/2. Przeciwprostokątna c jest zarazem średnicą tego okręgu, a kąt prosty trójkąta - oparty na średnicy.

Z kolei w przypadku trójkąta równobocznego o boku a stosuje się wzór: $R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{a \sqrt 3}{3}$

Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie

Twierdzenie. Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe $\pi$ . $\alpha+\beta=\gamma+\delta=\pi\;$

Dowód

Okrąg opisany na czworokącie

Kąty α i α' oraz β i β' są parami kątów opartych na tym samym łuku. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartych na tym samym łuku otrzymujemy następujące zależności:

Kąt środkowy – kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona wyznaczone są przez wychodzące z niego promienie. W sytuacji na rysunku, kąt AOB jest środkowy i mówimy, że jest oparty na łuku AB.

Prostokąt - w planimetrii, czworokąt, który ma wszystkie wewnętrzne kąty proste (stąd również jego nazwa). Prostokąt jest szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego oraz równoległoboku. Szczególnym przypadkiem prostokąta (o wszystkich bokach tej samej długości) jest kwadrat.

$\alpha^\prime = 2\alpha\;$ $\beta^\prime = 2\beta\;$

Jednocześnie kąty α' i β' tworzą razem kąt pełny. Zatem: $\alpha^\prime+\beta^\prime = 2\pi\;$ $2\alpha+2\beta = 2\pi\;$ $\alpha+\beta = \pi\;$

Analogicznie postępujemy dla drugiej pary kątów.

Przypuśćmy przeciwnie, że na czworokącie ABCD nie można opisać okręgu. Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC oznaczmy przez O. Wówczas albo: suma kątów OAD i OCD jest większa lub równa $\pi$ , albo przynajmniej jedna z półprostych otwartych AD, CD przecina łuk AC (bo jeden z kątów OAD, OCD jest mniejszy niż $\frac{\pi}{2}$ ).

Zbiór wypukły – intuicyjnie, podzbiór pewnej przestrzeni euklidesowej, o tej własności, że dowolny odcinek, którego końce należą do tego zbioru, w całości się w nim zawiera.

W pierwszym przypadku ze względu na sumę kątów w czworokącie kąt ADC byłby mniejszy bądź równy $\pi - 2 \ang ABC$ i suma jego i kąta ABC byłaby mniejsza niż $\pi$ .

W drugim przypadku bez zmniejszenia ogólności można założyć, że półprosta AD przecina okrąg w punkcie D'. Ale wtedy z udowodnionej części twierdzenia zachodzi $\ang ABC + \ang AD'C = \pi$ i jeśli założyć, że spełniony jest warunek $\ang ABC + \ang ADC = \pi$ , to będzie z niego wynikać równość kątów ADC i AD'C. Następnie ze współliniowości A, D i D' oraz twierdzenia Talesa równoległość DC i D'C sprzeczna z tym, że się przecinają.

Zobacz też

kula opisana

koło wpisane