Operator liniowy - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia stosowanego w matematyce wyższej. Zapoznaj się również z: funkcja liniowa w matematyce elementarnej.

Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

Widmo operatora, w analizie funkcjonalnej, uogólnienie pojęcia widma macierzy (inaczej mówiąc, widma pewnego endomorfizmu skończenie wymiarowej przestrzeni współrzędnych) na dowolne ciągłe i liniowe operatory w przestrzeni Banacha.
Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

Przekształcenia liniowe znajdują zastosowanie m.in. w zagadnieniach linearyzacji, czy aproksymacji liniowej, np. za pomocą pochodnych (również wielowymiarowych, np. w analizie wielowymiarowej); przytłaczająca większość zastosowań macierzy wynika z faktu, iż reprezentują one pewne przekształcenia liniowe (w przypadku skończeniewymiarowym).

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.
Forma półtoraliniowa albo funkcjonał półtoraliniowy – w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej przekształcenie półtoraliniowe danej zespolonej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na jeden parametr (zob. funkcjonał liniowy) i antyliniowy ze względu na drugi.

Choć w większości wypadków słowa „funkcja”, „przekształcenie” i „odwzorowanie” są synonimami, to termin funkcja liniowa zarezerwowany jest dla funkcji parametryzującej na płaszczyźnie (zwykle euklidesowej) prostą, zaś sformułowania przekształcenie liniowe i odwzorowanie liniowe odnoszą się do opisanej w tym artykule funkcji przekształcającej proste w proste lub punkt (każda z tych figur musi przechodzić przez początek przestrzeni nazywany wektorem zerowym); w dalszej części obie nazwy będą stosowane wymiennie – powiązane nazwy opisano w oddzielnej sekcji.

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym - twierdzenie podające warunek wystarczający na to by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.
Funkcjonał liniowy (forma liniowa, kowektor) – funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, czyli przekształcenie liniowe z przestrzeni liniowej nad pewnym ciałem o wartościach w tym ciele.

Definicja

Zapoznaj się również z: przestrzeń liniowa, kombinacja liniowa i baza.

Niech $\scriptstyle K$ oznacza pewne ciało (np. liczby rzeczywiste, czy zespolone), a $\scriptstyle U$ i $\scriptstyle V$ będą przestrzeniami liniowymi nad tym ciałem. Funkcję $\scriptstyle \mathrm A\colon U \to V$ nazywa się przekształceniem liniowym, jeżeli jest

addytywna (zachowuje dodawanie wektorów), $\mathrm A(\mathbf x + \mathbf y) = \mathrm A(\mathbf x) + \mathrm A(\mathbf y),$

jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar), $\mathrm A(c\mathbf x) = c\mathrm A(\mathbf x).$

Powyższe łączy się często w jeden, równoważny z nimi warunek liniowości,

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem przekształcenia liniowego dwóch skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Zachodzący izomorfizm sprawia, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze.

$\mathrm A(c\mathbf x + d\mathbf y) = c\mathrm A(\mathbf x) + d\mathrm A(\mathbf y),$

przy czym istnieje wiele jego równoważnych wariantów; w ogólności przekształcenia liniowe są najogólniejszymi funkcjami między $\scriptstyle U,\ V$ zachowującymi kombinacje liniowe (można to dowieść z powyższych warunków za pomocą indukcji lub przyjąć za definicję).

Własności

Osobne artykuły: obraz i przeciwobraz, jądro i rząd.

Na każdą funkcję można nałożyć dodatkowe warunki, np. różnowartościowości, odwzorowywania na całą przeciwdziedzinę, czy odwracalności. W przypadku przekształceń liniowych własności te silnie ze sobą współgrają: odwzorowanie liniowe (homomorfizm) mające kolejno jedną ze wspomnianych własności nazywa się odpowiednio monomorfizmem, epimorfizmem i izomorfizmem (wszystkie uściśla się słowem „liniowy”, jeśli jest to konieczne). Ponadto przekształcenie liniowe przestrzeni w siebie nazywa się jej endomorfizmem; jeżeli jest ono dodatkowo odwracalne (jest izomorfizmem), to nazywa się je automorfizmem danej przestrzeni.

Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zapoznaj się również z: wymiar, baza.
Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

Istnieje też szereg pojęć służących do opisu przekształceń liniowych i przestrzeni, na których są one określone. Definiuje się je za pomocą pojęć kombinacji liniowej, bazy i wymiaru, do najważniejszych należą:

jądro, czyli przeciwobraz wektora zerowego (należy do każdej przestrzeni liniowej);

rząd, definiowany jako wymiar obrazu całej przestrzeni.

Za ich pomocą można scharakteryzować każdy z powyższych rodzajów homomorfizmów: monomorfizm ma trywialne jądro (tj. złożone wyłącznie z wektora zerowego), epimorfizm ma pełny rząd (tzn. równy wymiarowi przeciwdziedziny), a izomorfizm jest zarazem mono- jak i epimorfizmem. Ważnym wynikiem dotyczącym przekształceń liniowych jest twierdzenie Sylvestera o rzędzie, mianowicie iż wymiar dziedziny jest równy sumie wymiarów obrazu i jądra przekształcenia. Wynika stąd ważna obserwacja dotycząca izomorfizmów: wszystkie przestrzenie liniowe (nad ustalonym ciałem) równego wymiaru są izomorficzne, skąd wynika, iż wymiar jest niezmiennikiem izomorfizmów. Ponadto jeśli przekształcenie liniowe określone jest między dwoma przestrzeniami liniowymi równego, skończonego wymiaru, to z twierdzenia wynika, iż każdy monomorfizm, czy epimorfizm jest izomorfizmem – innymi słowy w tym wypadku pojęcia mono-, epi- i izomorfizmu wynikają z siebie wzajemnie.

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).
Baza kanoniczna – pojęcie matematyczne oznaczające bazę pewnej struktury algebraicznej, która jest kanoniczna w ścisłym sensie zależącym od kontekstu:

Twierdzenie o wykresie charakteryzuje przekształcenia liniowe spośród wszystkich funkcji określonych między dwoma przestrzeniami liniowymi: odwzorowanie $\scriptstyle \mathrm T\colon U \to V$ jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres, czyli zbiór par $(\scriptstyle \mathbf u,\ \mathrm T(\mathbf u)\displaystyle),$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $\scriptstyle U \times V$ (której wykres jest zawsze podzbiorem).

Pojęcia topologiczne, czy analityczne, takie jak ciągłość, czy różniczkowalność nie przydają niczego w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru – przekształcenia liniowe między nimi są ciągłe i gładkie na całej dziedzinie; sytuacja zmienia się diametralnie, jeśli rozpatruje się przestrzenie nieskończeniewymiarowe, zob. osobną sekcję.

Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.
Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przyłożeniu do niego endomorfizmu; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Wybór baz

Osobne artykuły: przestrzeń współrzędnych i macierz przekształcenia liniowego.

Jeśli $\scriptstyle U, V$ są przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru, to możliwe jest opisanie przekształcenia liniowego między nimi za pomocą macierzy; niech $\scriptstyle \dim U = n$ i $\scriptstyle \dim V = m.$ Wybranie baz $\scriptstyle (\mathbf a_i),\ (\mathbf b_j)$ odpowiednio w każdej z tych przestrzeni prowadzi do wskazania izomorfizmów $\scriptstyle U \to K^n$ oraz $\scriptstyle V \to K^m$ w przestrzenie współrzędnych (będące przestrzeniami liniowymi). Odwrotnie, każda macierz typu $\scriptstyle m \times n$ opisuje przekształcenie liniowe $\scriptstyle K^n \to K^m,$ a dzięki wspomnianym izomorfizmom (wyborom baz) również $\scriptstyle U \to V$ w danych bazach.

Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.
Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Jeśli $\scriptstyle \mathbf A$ jest macierzą przekształcenia liniowego $\scriptstyle \mathrm A,$ a macierz jednokolumnowa $\scriptstyle \mathbf X$ odpowiada wektorowi przestrzeni $\scriptstyle \mathbf x$ , to działaniu przekształcenia liniowego na wektor $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x)$ odpowiada mnożenie macierzy $\scriptstyle \mathbf{AX}.$ Podobnie mnożenie macierzy odpowiada składaniu przekształceń.

W ten sposób ogólna teoria macierzy może być wykorzystana do opisu przekształceń liniowych. Istnieją dwa zasadnicze powody, dla których rozpatruje się ogólne przekształcenia liniowe zamiast (obok) ich macierzy. Macierze nie spełniają swego zadania w przestrzeniach liniowych nieskończonego wymiaru, gdzie zapis ten nie przydaje nic do ogólnego rozumienia nie ułatwiając przeprowadzania konkretnych rachunków jak ma to miejsce w przypadku skończeniewymiarowym. Drugim powodem jest fakt, iż istnieją własności, które łatwiej traktować w bardziej abstrakcyjny sposób; zbędne jest przykładowo dowodzenie, iż dana własność nie zależy od wyboru baz – w szczególności, iż istnieją przestrzenie (zwykle nieskończeniewymiarowe), w których wybór bazy nie jest kanoniczny, tj. nie istnieje naturalny izomorfizm z przestrzenią współrzędnych (lub jej nieskończonym odpowiednikiem, zob. przykłady przestrzeni liniowych).

Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M, o współczynnikach z pierścienia przemiennego R (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych), pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem detM), która spełnia następujące warunki:
Pierścień endomorfizmów – w algebrze abstrakcyjnej pierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.

Endomorfizmy

Zapoznaj się również z: wyznacznik, ślad, wektory i wartości własne i wielomian charakterystyczny.

Zbiór $\scriptstyle \mathrm{End}\ V$ wszystkich endomorfizmów przestrzeni $\scriptstyle V$ tworzy pierścień nazywany po prostu pierścieniem endomorfizmów $\scriptstyle V.$ Do opisu endomorfizmów liniowych, nazywanych niekiedy „operatorami liniowymi”, na przestrzeniach skończonego wymiaru i ich macierzy kwadratowych stosuje się często pojęcia wyznacznika i śladu. Zwykle definiuje się je dla macierzy dowodząc ich niezależności od wyboru bazy, możliwe jest jednak zdefiniowanie bez wyboru bazy dla przekształceń liniowych, jednak wtedy konieczne jest podanie przepisu na ich obliczenie – wyraża się ją wtedy za pomocą macierzy w ustalonej bazie – odzwierciedla równoważność obu definicji. Niezmienniczość tych pojęć można tłumaczyć za pomocą przestrzeni niezmienniczych, tj. wektorów własnych i stowarzyszonych z nimi wartości własnych, które opisują kierunki zachowywane przez dane przekształcenie liniowe i stosunki jednokładności w tychże kierunkach: wyznacznik jest iloczynem wartości własnych, a ślad – ich sumą. Rząd jest wtedy równy liczbie niezerowych wartości własnych. Jeśli choć jedna wartość własna jest zerowa, to wyznacznik również jest zerowy – przekształcenie (lub macierz) nazywa się wtedy osobliwym (lub zdegenerowanym; a rząd nie jest pełny, skąd przekształcenie nie jest epimorfizmem). Dowodzi się, że osobliwość jest równoważna nieodwracalności.

Przekształcenie rzutowe (również transformacja rzutowa) - w geometrii rzutowej jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń rzutową na siebie i zachowująca współliniowość punktów.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Twierdzenie o endomorfizmie

Jeśli $\scriptstyle V$ jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru, zaś $\scriptstyle \mathrm E \in \mathrm{End}\ V$ oraz $\scriptstyle \lambda_1, \dots, \lambda_k$ są wszystkimi, parami różnymi wartościami własnymi tego endomorfizmu, to następujące warunki są równoważne:

$\scriptstyle \mathrm E$ jest endomorfizmem,

$\scriptstyle V = V(\lambda_1, \mathrm E) \oplus \dots \oplus V(\lambda_k, \mathrm E),$

$\scriptstyle \dim V = \dim V(\lambda_1, \mathrm E) + \dots + \dim V(\lambda_k, \mathrm E),$

gdzie $\scriptstyle \oplus$ oznacza sumę prostą przestrzeni liniowych, a $\scriptstyle V(\lambda_i, \mathrm E)$ jest podprzestrzenią niezmienniczą stowarzyszoną z wartością własną $\scriptstyle \lambda_i$ endomorfizmu $\scriptstyle \mathrm E.$

Z powyższych uwag wynika, że wyznacznik, ślad i rząd są niezmiennikami endomorfizmów. Wszystkie te informacje zawarte są w wielomianie charakterystycznym przekształcenia (bądź macierzy): pierwiastkami tego wielomianu są wartości własne. Środki te okazują się niewystarczające w przypadku nieskończeniewymiarowym, gdzie pojęcia te mają odpowiednie uogólnienia (zob. Wymiar nieskończony).

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa) – grupa wszystkich odwracalnych (czyli grupa multiplikatywna pierścienia) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem.
Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Automorfizmy

Osobne artykuły: automorfizm i pełna grupa liniowa.

W ogólności automorfizmy liniowe, czyli odwracalne przekształcenie liniowe przestrzeni na siebie, opisują „symetrie” przestrzeni takie jak opisane wyżej (liniowe) zmiany bazy. Ponieważ złożenie automorfizmów jest automorfizmem, jest łączne z definicji, przekształcenie tożsamościowe jest automorfizmem, a dla każdego automorfizmu istnieje automorfizm do niego odwrotny, to zbiór automorfizmów $\scriptstyle \mathrm{Aut}\ V$ przestrzeni $\scriptstyle V$ tworzy grupę nazywaną ogólną lub pełną grupą liniową $\scriptstyle \mathrm{GL}(V)$ przestrzeni $\scriptstyle V.$

Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.
Funkcjonał dwuliniowy (forma dwuliniowa) – w algebrze dwuliniowej dwuargumentowy funkcjonał liniowy ze względu na każdą zmienną. Stosowany także w rachunku wariacyjnym i analizie funkcjonalnej.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)