Ortogonalność - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zapoznaj się również z: ortogonalność grup ochronnych w chemii.

Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej

Długość wektora $a = [a_x, a_y, a_z]$ w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem $| a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ .

Jeżeli $a = [a_x, a_y, a_z]$ i $b = [b_x, b_y, b_z]$ są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora $c=b-a$ wynosi $|c| = |b - a| = \sqrt{(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2}.$

Liczby $|a|, |b|, |c|$ są długościami boków trójkąta ${oab}$ , gdzie $o = (0, 0, 0)$ .

Trójkąt prostokątny o bokach $\scriptstyle \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c.$

Wektory $a, b$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $oab$ jest prostokątny, a więc spełnia założenia twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Dopełnienie ortogonalne podzbioru A przestrzeni V z określonym iloczynem skalarnym - zbiór wszystkich elementów w przestrzeni V, które są ortogonalne do każdego elementu zbioru A. Symbolicznie:

$|c|^2 = |a|^2 + |b|^2\,$

tzn. $(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\,$

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość $-2a_x b_x - 2a_y b_y - 2a_z b_z = 0\,$ ,

która upraszcza się do wyrażenia $a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0\,$ .

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów $a$ i $b$ w przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja

Elementy $x$ i $y$ przestrzeni unitarnej $X$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot, \cdot\rangle$ nazywa się ortogonalnymi, gdy

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

$\langle x, y \rangle = 0.$

Relację $\langle x, y \rangle = 0$ zapisuje się symbolicznie $x\perp y$ . Podzbiór $A$ przestrzeni unitarnej $X$ nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Przykłady

Przestrzenie euklidesowe

Zapoznaj się również z: przestrzeń euklidesowa.

Wektory $[-1, 3]$ i $[3, 1]$ na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ $[-1, 3] \cdot [3, 1] = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0$ .

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzeń – zbiór, w którym określone są rozmaite relacje i działania pomiędzy jego elementami. Synonim pojęcia struktury matematycznej używany dla oddania pewnych intuicji matematycznych oraz w celu skrócenia wypowiedzi.

Przestrzeń funkcyjna – zbiór funkcji ze zbioru X w zbiór Y. Jest on nazywany przestrzenią, gdyż w wielu zastosowaniach jest on przestrzenią topologiczną, czy liniową, a nawet oboma jednocześnie.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń $L^2[a, b]$ , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale $\scriptstyle [a, b]$ o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów $f$ i $g$ tej przestrzeni definiuje się wzorem

Wielomiany ortogonalne – wielomiany wzajemnie do siebie ortogonalne w sensie pewnego iloczynu skalarnego. Korzysta się z nich między innymi przy rozwijaniu funkcji w szereg Fouriera i interpolacji wielomianowej. Pojawiają się również w mechanice kwantowej jako funkcje własne kwantowego oscylatora harmonicznego.

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, dla elementów której określone jest pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości wektora w przestrzeni euklidesowej. Przestrzenie unormowane pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki takich jak, na przykład, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Szczególnie istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną dodatkową własność, związaną z ich strukturą metryczną. Historycznie to własnie pewne konkretne przestrzenie Banacha, które jako pierwsze pojawiły się w kręgu zainteresowań matematyków pierwszej połowy XX w., stały się podwaliną powstania abstrakcyjnej (aksjomatycznej) teorii przestrzeni unormowanych. Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.

$\langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(t) \overline{g(t)} \mathrm dt.$

W przypadku, gdy $[a, b] = [-\pi, \pi],$ , to rodzina funkcji $\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt \pi}\colon n\in \mathbb N\right\}$

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.

Przypisy

Roman Ger: Orthogonalities in linear spaces and difference operators, Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, DOI:10.1007/s000100050153

Zobacz też

dopełnienie ortogonalne,

macierz ortogonalna,

ortogonalizacja Grama-Schmidta,

ortonormalność.