Otoczenie - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Zapoznaj się również z: Kula.

Otoczenie punktu – w topologii oznacza dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Dokładniej, jeśli $x \in X$ , gdzie $X$ jest przestrzenią topologiczną, to zbiór $V$ jest otoczeniem punktu $x$ , gdy istnieje zbiór otwarty $U \subseteq V$ taki, że $x \in U .$

Zauważmy, że tak rozumiane otoczenie nie musi być zbiorem otwartym. Istotne jest tylko, by zawierało pewien zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym, itd.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Uwaga: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy pod pojęciem otoczenia punktu rozumieją wyłącznie zbiór otwarty zawierający dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenie takie nazywałoby się otoczeniem otwartym.

Jeżeli $S$ jest podzbiorem $X$ , pod pojęciem otoczenia zbioru $S$ rozumiemy zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera $S$ . W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru.

Koło – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie (środka koła) nie przekracza pewnej wartości (promienia koła).

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Rodzina wszystkich otoczeń danego punktu nazywana jest bazą otoczeń (punktu).

Przestrzeń metryczna

W przestrzeni metrycznej $X$ z metryką $d$ otoczenie punktu można równoważnie określić następująco: $V$ jest otoczeniem punktu $p$ jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie $p$ i promieniu $r$ $B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}$

zawarta w zbiorze $V .$

Zbiór otwarty – podstawowe pojęcie topologii. W przestrzeni metrycznej (a w szczególności w przestrzeni euklidesowej) jest to zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewną kulę o środku w tym punkcie, tzn. taki, w którym dla każdego punktu zbioru istnieje otoczenie w całości zawarte w tym zbiorze.

Otoczeniem jednostajnym zbioru $S$ w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór $V$ o tej własności, że istnieje liczba $r > 0$ taka, że dla każdego $p \in S$ kula otwarta $B_r(p) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}$

zawarta jest w zbiorze $V$ . Innymi słowy, jest to zbiór będący sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru $S .$

System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu $x$ zbioru $X$ dana jest pewna rodzina $B(x)$ podzbiorów zbioru $X$ spełniająca poniższe warunki:

$x \in U$ dla dowolnego $U \in B(x),$
dla dowolnego $U \in B(x)$ istnieje $V \in B(x)$ takie, że $\bigwedge\limits_{y \in V} U \in B(y) ,$

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze $X$ . Wystarczy zdefiniować zbiór otwarty jako taki, który wraz z każdym swoim punktem $x$ zawiera również pewien zbiór z rodziny $B(x) .$

Otoczenie a sąsiedztwo

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem, jeżeli $V$ jest otoczeniem punktu $x$ , to zbiór $V_x = V \setminus \{ x \}$ jest sąsiedztwem punktu $x .$

Przykłady

W zbiorze liczb rzeczywistych z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu $x$ jest dowolny przedział otwarty $(a,b)$ taki, że $a < x < b$ . Sąsiedztwem punktu $x$ jest wówczas zbiór $(a,b) \setminus \{ x \} = (a,x) \cup (x,b) .$

Otoczeniem otwartym punktu na płaszczyźnie euklidesowej jest koło bez brzegu o środku w tym punkcie, zaś sąsiedztwem tego punktu jest koło bez środka (czyli bez danego punktu).