Półprosta - Polski Serwis Naukowy

Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Półprosta - figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie punktu prostej, który jest nazywany początkiem półprostej. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej i mówimy o półprostej domkniętej (z początkiem). W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku) .

Karol Borsuk (ur. 8 maja 1905 w Warszawie, zm. 24 stycznia 1982 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.

Półprostą o początku w punkcie A i przechodzącą przez punkt B oznaczamy jako półprostą AB. Niekiedy półprostą nazywa się promieniem. Często wygodnie jest oznaczać przez A/B promień otwarty wychodzący z punktu A i nie przechodzący przez punkt B. Inaczej mówiąc, promień A/B składa się z tych punktów prostej AB, które leżą po przeciwnej stronie punktu A niż punkt B.

Nulka – znak graficzny przypominający okrąg (często dla większej czytelności pogrubiony) umieszczany na wykresach funkcji. Najczęściej służy do zaznaczania punktów nie należących do wykresu funkcji, początku półprostej, punktów nieciągłości oraz otwartych końców przedziałów; rzadziej innych punktów osobliwych funkcji.

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

Inne definicje półprostej

Półprostą o początku w punkcie A można też zdefiniować jako maksymalny podzbiór prostej przechodzącej przez punkt A, taki że punkt A należy do tego podzbioru, ale nie leży on między żadnymi dwoma innymi punktami tego podzbioru.

Półprostą (domkniętą) AB można również zdefiniować jako sumę mnogościową wszystkich odcinków o końcu w punkcie A zawierających punkt B.

Własności

Zbiór rzędnych punktów danej półprostej jest albo zbiorem jednopunktowym (gdy półprosta jest zawarta w prostej prostopadłej do osi rzędnych), albo przedziałem nieskończonym. To samo można powiedzieć o zbiorze odciętych punktów półprostej.

Dla każdych dwóch różnych punktów A i B półproste A/B i B/A są rozłączne. Suma mnogościowa tych promieni i odcinka $\overline{A B}$ jest równa prostej AB:

$A/B \cup \overline{A B} \cup B/A = \text{prosta } AB$

Na zbiorze półprostych (promieni) zawartych w danej prostej można określić relację równoważności Rk. Promienie p1 i p2 są w niej równoważne, jeśli jeden z nich jest zawarty w drugim:

$p_1 R_k p_2 \Leftrightarrow p_1 \subset p_2 \vee p_2 \subset p_1$ Relacja ta ma dwie klasy równoważności nazywane kierunkami promieni na tej prostej.

Uwagi

Dwa punkty A i B prostej AB leżą po jednej stronie punktu C leżącego na tej prostej, jeśli punkt C nie leży między tymi punktami, to znaczy nie zachodzi relacja [ACB] z geometrii uporządkowania.

Przypisy

Borsuk Karol, Szmielew Wanda: Podstawy geometrii. Warszawa: PWN, 1970, s. 39.
H. S. M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 196.
Coxeter, op. cit., s. 196
А. Д. Александров: Основания геометрии. Москва: Наука, 1987, s. 61.

Bibliografia

Borsuk Karol, Szmielew Wanda: Podstawy geometrii. Warszawa: PWN, 1970.
H. S. M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
Ryszard Doman: Wykłady z geometrii elementarnej. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 1998.
А. Д. Александров: Основания геометрии. Москва: Наука, 1987.

Zobacz też

prosta

odcinek

kąt