Parabola - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Przykład paraboli

Parabola – krzywa stożkowa utworzona przez przecięcie powierzchni stożkowej (której kierującą jest okrąg) płaszczyzną równoległą do pewnej płaszczyzny stycznej do tej powierzchni stożkowej.

Parabolę można też zdefiniować jako zbiór punktów równoodległych od prostej (zwanej kierownicą paraboli) i punktu (zwanego ogniskiem paraboli).

Definicje i właściwości

W kartezjańskim układzie współrzędnych parabola z osią symetrii równoległą do osi $y\;$ , wierzchołkiem o współrzędnych $(h, k)\;$ , ogniskiem $(h,k+p)\;$ i kierownicą $y=k-p\;$ opisana jest równaniem

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

lub $(x - h)^2 = 2d(y - k) \,$

(gdzie $d\;$ jest odległością pomiędzy ogniskiem a kierownicą).

Parabola ma jedną oś symetrii, która przechodzi przez ognisko i wierzchołek i jest prostopadła do kierownicy paraboli.

Tor lotu ciała poruszającego się bez oporu powietrza, ukośnie do linii sił jednorodnego pola grawitacyjnego jest parabolą. Po uwzględnieniu oporu powietrza otrzymujemy balistyczny tor lotu pocisku. Lustra o przekroju paraboli (i symetrii obrotowej) nie posiadają wady aberracji sferycznej przy odbijaniu dostatecznie dalekich obiektów (promienie światła równoległe do osi symetrii lustra po odbiciu od lustra skupiają się w ognisku paraboli).

Aberracja sferyczna - cecha soczewki, układu optycznego, obiektywu lub zwierciadła sferycznego, polegająca na odmiennych długościach ogniskowania promieni świetlnych ze względu na ich położenie pomiędzy środkiem a brzegiem urządzenia optycznego - im bardziej punkt przejścia światła zbliża się ku brzegowi urządzenia (czyli oddala od jego osi optycznej), tym bardziej uginają się promienie świetlne.

Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.

Właściwości odbijania promieni oraz ognisko (niebieskie) i kierownica (zielona)

Równania

Współrzędne kartezjańskie

Parabola z pionową osią symetrii:

Parabola z poziomą osią symetrii:

Wykresem dowolnej funkcji kwadratowej

jest parabola z pionową osią symetrii. Analogiczna postać równania paraboli z poziomą osią symetrii:

Związek pomiędzy równaniami (1) i (3) oraz (2) i (4) jest dany przez:

Elipsa (z gr. ἔλλειψις elleipsis – „brak, opuszczenie”) – w geometrii ograniczony przypadek krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

$a = \frac{1}{4p},\;$ $b = -\frac{h}{2p},\;$ $c = \frac{h^2}{4p} + k.\;$

Równanie parametryczne paraboli: $x = 2pt + h, \,$ $y = pt^2 + k. \,$

Współrzędne biegunowe

We współrzędnych biegunowych parabola z ogniskiem w punkcie $(0,0)\;$ i wierzchołkiem leżącym na ujemnej części osi $x\;$ (będącej osią symetrii paraboli) opisana jest równaniem: $r (1 - \cos \theta) = \ell. \;$

Ognisko

Parabola o wierzchołku w punkcie $(0,0)\;$ i pionowej osi symetrii, której punkty spełniają równanie $y = a x^2,\;$

ma ognisko w punkcie $\left(0, {1 \over 4 a }\right).$

Zwierciadło optyczne, lustro – gładka powierzchnia o nierównościach mniejszych niż długość fali świetlnej. Z tego względu zwierciadło w minimalnym stopniu rozprasza światło, odbijając większą jego część. Dawniej zwierciadła wykonywano poprzez polerowanie metalu, później została opanowana technologia nakładania na taflę szklaną cienkiej warstwy metalicznej (zwykle srebra) metodami chemicznymi. Obecnie lustra produkuje się poprzez próżniowe naparowanie na szkło cienkiej warstwy metalu (najczęściej glinu).

Krzywa stożkowa – zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (ściślej powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny. Krzywe stożkowe są nazywane inaczej krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x i y.

Wszystkie promienie światła padające na parabolę równolegle do osi symetrii (na rysunku od góry) po odbiciu się od niej skupiają się właśnie w ognisku. Stanowi to podstawę konstrukcji zwierciadła parabolicznego.

Zobacz też