Paul Cohen - Polski Serwis Naukowy

Paul Joseph Cohen (ur. 2 kwietnia 1934 w Long Branch, w stanie New Jersey, w USA; zm. 23 marca 2007, Stanford, Kalifornia) − amerykański matematyk, od 1964 prof. Stanford University.

Jego zasługą są przełomowe dla nauki i filozofii osiągnięcia w zakresie podstaw matematyki, m.in. udowodnił niezależność aksjomatu wyboru i hipotezy continuum od aksjomatów Zermelo-Fraenkela teorii mnogości; w 1966 roku za to osiągnięcie otrzymał medal Fieldsa.

W roku 1953 ukończył Brooklyn College, w rok później miał już magisterium z matematyki na uniwersytecie w Chicago. Cztery lata później był doktorem matematyki tegoż uniwersytetu. Kolejny rok spędził w słynnym Massachusetts Institute of Technology, potem następne dwa w nie mniej słynnym Institute for Advanced Study w Princeton. Od 1961 roku wykładał w Stanford University, gdzie w 1964 roku uzyskał profesurę.

Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

Hipoteza continuum (skr. CH, od ang. continuum hypothesis) – postawiona przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.

Cohen przeszedł na zawsze do historii nauki w związku z rozwiązaniem Problemu 1 z 23 Problemów Hilberta, czyli właśnie rozstrzygnięciem słynnej hipotezy continuum. Problem ten był - obok wielkiego twierdzenia Fermata – najbardziej chyba znanym zagadnieniem matematycznym w historii.

Medal Fieldsa - nagroda przyznawana w dziedzinie matematyki dwóm, trzem lub czterem uczonym za wyniki, które miały największy wpływ na jej rozwój. Związana z nim jest premia finansowa w wysokości 15.000 dolarów kanadyjskich (w 2006: 13 400 USD).

Kalifornia (ang. California) – najludniejszy, najbogatszy oraz trzeci co do wielkości (po Alasce i Teksasie) stan USA. Położony na zachodnim wybrzeżu USA, nad Oceanem Spokojnym. Na północy graniczy ze stanem Oregon, na wschodzie ze stanem Nevada, na południowym wschodzie z Arizoną, a na południu z meksykańskim stanem Baja California. Cztery największe miasta stanu to: Los Angeles, San Francisco, San Diego i San José. W Kalifornii znajduje się aż osiem z pięćdziesięciu największych miast USA. Stan znany jest ze zróżnicowanego środowiska przyrodniczego i klimatu, a także z powodu wielorasowego i wielokulturowego społeczeństwa.

Dzięki stworzonej przez siebie nowatorskiej metodzie forsingu Paul Cohen rozstrzygnął w 1964 roku tę sprawę – w dodatku, w sposób niesłychanie sensacyjny. Okazało się otóż, że hipoteza continuum jest niezależna od "zwykłych" aksjomatów matematyki: można ją przyjąć jako dodatkowy aksjomat lub przyjąć jej zaprzeczenie – i w obu wypadkach nie popadnie się w sprzeczność. Metoda forcingu obecnie jest jednym z silniejszych narzędzi w teorii mnogości i logice.

New Jersey ([nuːˈdʒɜ˞ːzi]) - stan w północno-wschodniej części USA, nad Oceanem Atlantyckim. Powierzchnia 20,2 tys. km²; 8,7 mln mieszkańców (2008).

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (skr. ZF) – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r., który został później uzupełniony przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o aksjomat wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.

Oznacza to, iż możliwa jest matematyka z hipotezą continuum i całkiem inna – bez niej; sytuacja dość podobna, jak to było ponad stulecie wcześniej z geometrią nieeuklidesową.

O hipotezie continuum

"Autor [Cohen] sądzi, że domniemanie CH zostanie w przyszłości uznane za jawnie fałszywe. Główną przyczyną dla której przyjmuje się aksjomat nieskończoności jest chyba odczucie, że jest absurdem aby dodawanie jednego zbioru po drugim mogło wyczerpać cały wszechświat. Podobnie jest z wyższymi aksjomatami nieskończoności. Tak więc $\aleph_1$ jest zbiorem przeliczalnych liczb porządkowych i jest to zaledwie szczególny i najprostszy sposób generowania wyższych liczb porządkowych. Zbiór $\mathfrak{c}$ [ continuum ] jest natomiast generowany za pomocą zupełnie nowej i o wiele mocniejszej zasady, mianowicie aksjomatu zbioru potęgowego. Jest nierozsądnym sądzić aby jakikolwiek opis wyższych liczb porządkowych próbujący je za pomocą idei pochodnych schematowi aksjomatów zastąpienia mógł osiągnąć $\mathfrak{c}$ . Tak więc $\mathfrak{c}$ jest większe niż $\aleph_n, \aleph_\omega, \aleph_a$ , gdzie $a = \aleph_\omega$ , itd. Ten pogląd postrzega $\mathfrak{c}$ jako niesłychanie bogaty zbiór, który otrzymujemy dzięki jednemu znaczącemu aksjomatowi, który nie może zostać nigdy osiągnięty jakimkolwiek sposobem konstrukcji kawałek po kawałku. Może następne generacje będą widziały to zagadnienie jaśniej i będą potrafiły wysłowić się bardziej elokwentnie."

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Logika (gr. λόγος, logos - rozum) nauka normatywna, analizująca źródła poznania pod względem prawomocności czynności poznawczych z nimi związanych. Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Logika, jako dyscyplina normatywna, nie tylko opisuje jak faktycznie przebiegają rozumowania, ale także formułuje twierdzenia normatywne, mówiące o tym, jak rozumowania powinny przebiegać.

Cohen, P. Set Theory and the Continuum Hypothesis p. 151.

Zobacz też

hipoteza continuum

teoria mnogości

Algebra Cohena

Linki zewnętrzne

John J. O'Connor; Edmund F. Robertson: Paul Cohen w MacTutor History of Mathematics archive (ang.)