Pewnik wyboru - Polski Serwis Naukowy

Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.

Powszechnie przyjmowane aksjomaty Zermelo-Fraenkela (ZF) teorii mnogości rozszerzone o AC oznacza się zwykle skrótem ZFC. Aksjomat ten jest niezależny ZF – można również rozważać modele teorii mnogości oparte na ZF, w których przyjęto negację AC. Z tego powodu choć większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru, to w dowodach twierdzeń go wykorzystujących przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt – dowody te nazywa się nieefektywnymi; zwykle są one także niekonstruktywne, gdyż mówią często jedynie o istnieniu danego obiektu, jednak nie wskazują go (nie podają konstrukcji; por. intuicjonizm).

Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się o pojęcie równoliczności dwóch zbiorów - zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.
Ideał maksymalny – w teorii pierścieni ideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.

W przypadku ograniczenia się do skończonych rodzin zbiorów aksjomat wyboru jest trywialny (wynika z innych aksjomatów); zastosowany dla nieskończonych rodzin zbiorów również wydaje się intuicyjny, lecz jego konsekwencje bywają zaskakujące, np. Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli (mówiące o możliwości rozkładu kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na sześć części, z których można złożyć, korzystając wyłącznie z obrotów i przesunięć, dwie kule o średnicy równej średnicy kuli wyjściowej).

Lemat Kuratowskiego-Zorna – jedno z podstawowych narzędzi dowodzenia twierdzeń, które stwierdzają istnienie pewnych obiektów w teorii mnogości i innych działach matematyki. W krajach anglosaskich bardziej znany jako Lemat Zorna. Oto jedno ze sformułowań lematu:
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

Definicja

Aksjomat wyboru podawany jest zwykle w następującej postaci: Dla każdej rodziny $\scriptstyle \mathcal U$ niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór $\scriptstyle V$ (tzw. selektor), do którego należy dokładnie po jednym elemencie z każdego ze zbiorów należących do rodziny $\scriptstyle \mathcal U,$ $\forall_{\mathcal U} \Big(\big(\forall_{X \in \mathcal{U}} X \ne \varnothing\big) \and \big(\forall_{X, Z \in \mathcal U} (X \ne Z \Rightarrow X \cap Z = \varnothing)\big) \Rightarrow \exists_V \forall_{X \in \mathcal U} \exists_z \big(X \cap V = \{z\}\big)\Big).$

Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jest twierdzenie Tarskiego: iloczyn kartezjański dowolnej liczby niepustych zbiorów jest niepusty.

Elementami iloczynu kartezjańskiego $\scriptstyle \prod A_i$ są wszystkie funkcje $\scriptstyle f\colon I \to \bigcup A_i$ spełniające warunek $\scriptstyle f(i) \in A_i$ dla każdego $\scriptstyle i \in I,$ gdzie $\scriptstyle I$ jest ustalonym zbiorem indeksów. Aksjomat wyboru postuluje wtedy, iż

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

jeśli $\scriptstyle \mathcal A = \{A_i\colon i \in I\}$ jest rodziną niepustych zbiorów, to istnieje taka funkcja $\scriptstyle f,$ nazywana funkcją wyboru dla $\scriptstyle \mathcal A,$ dla której $\scriptstyle f(i) \in A_i$ dla każdego $\scriptstyle i \in I.$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)