Pi - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy liczby. Zapoznaj się również z: inne znaczenia tego słowa.

Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której $\sin(x)=0$ .

Johann Bernoulli ( ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 , tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony.
Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

Liczba π z dokładnością do 200 miejsc po przecinku: π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196...

Stałe matematyczne

definicja • lista

Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.
Kwadrat – wielokąt foremny (czworokąt), posiadający cztery boki równej długości oraz cztery kąty wewnętrzne o równej wartości wynoszącej 90°. Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta o wszystkich bokach równej długości. Jest on również szczególnym przypadkiem rombu, którego wszystkie kąty wewnętrzne są proste. Można powiedzieć, że kwadrat to prostokąt będący jednocześnie rombem.

Najważniejsze stałe

Inne stałe

Λ • EB • M • B2 • B4 • B´L • K • C2

Tematy powiązane

„Najpiękniejszy wzór matematyki” • Dzień Liczby π • Liczby Fibonacciego • Srebrny podział odcinka

Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.
Madhava (1350 - 1425) - indyjski matematyk pochodzący z miejscowości Sangamagramma położonej w pł.-zach. Indiach. Podał m.in. wartość liczby pi z dokładnością do 11. miejsca po przecinku (3,14159265359).

Niewymierność i przestępność liczby π

Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π.

Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

Granica – pojęcie używane w matematyce pojęcie na określenie zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.
Komputer (z ang. computer od łac. computare – obliczać, dawne nazwy używane w Polsce: mózg elektronowy, elektroniczna maszyna cyfrowa, maszyna matematyczna) – urządzenie elektroniczne służące do przetwarzania wszelkich informacji, które da się zapisać w formie ciągu cyfr albo sygnału ciągłego.

Przybliżona konstrukcja Kochańskiego

To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła i choć nie ma on ścisłego rozwiązania, to istnieją konstrukcje przybliżone. Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.

Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.
Liu Hui (ur. ok. 220, zm. ok. 280) - chiński matematyk, w pracy opublikowanej w 264 roku metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby pi na 3,14159.

Dowód niewymierności π

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.

Zakładamy, że $\,{\pi} = \frac{p}{q}$ gdzie $\,{{p,q}\in \mathbb{Z}, {q}\neq{0}}$ .

Ustalamy ciąg $c_n = \frac{q^n}{n!}\int\limits_{0}^{\ \pi}{(x({\pi}-x))^{n}\sin{(x)}dx}$

Można wykazać, że:

$\quad \lim_{{n}\rightarrow{\infty}} c_n=0$
$\quad \forall_{n \in N} \; c_n>0$
$\quad \forall_{n \in N} \; {c_n}\in \mathbb{Z}$

Oznaczać to będzie, że przyjęte założenie $\,{\pi} = \frac{p}{q}$ prowadzi do sprzeczności, gdyż ciąg liczb całkowitych dodatnich nie może być zbieżny do liczby 0.

Często występujące przekształcenia π

$\pi^{2}= 9{,}869\,604\,401\,089\,358\,618\,834\,490\,999\,876\,2\ldots\quad$ $\pi^{3}= 31{,}006\,276\,680\,299\,820\,175\,476\,315\,067\,101\ldots\quad$ $\sqrt{\pi}=1{,}772\,453\,850\,905\,516\,027\,298\,167\,483\,341\,1\ldots\quad$

Najpopularniejsze aproksymacje wartości π

Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są na końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo w postaci ułamka zwykłego 355/113 lub 52163/16604 (dwa ostatnie ułamki są równe π z dokładnością do 6 miejsc po przecinku).

Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.
Kazimierz Cwojdziński (ur. 8 stycznia 1878 w Plewiskach koło Poznania, zm. 12 sierpnia 1948 w Poznaniu) - matematyk polski, profesor Szkoły Inżynierskiej w Poznaniu.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)