Pierścień - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zapoznaj się również z: pierścień kołowy w geometrii.

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

Warstwa – w teorii grup podzbiór danej grupy wyznaczony przez jeden z jej elementów i ustaloną jej podgrupę. Definiuje się warstwy lewostronne i warstwy prawostronne, a terminu warstwa używa się tylko wtedy, gdy warstwy jednostronne wyznaczane przez jeden element pokrywają się. Warstwy są zbiorami rozłącznymi, w sumie dającymi całą grupę, dlatego zbiór warstw jest rozbiciem zbioru jej elementów. Indeksem grupy względem jej podgrupy nazywa się ilość warstw podgrupy w grupie (ilości warstw lewostronnych i prawostronnych są sobie równe).
Dzielnik – w matematyce dla danej liczby całkowitej liczba całkowita, która dzieli ją bez reszty. W matematyce elementarnej dzielnikiem nazywa się dowolną liczbę, przez którą się dzieli.

W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. pierścienia łącznego. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: pierścień z jedynką, pierścień przemienny.

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.
Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Definicja

Niech $(R, +, \cdot, 0)$ będzie algebrą, w której $R$ jest pewnym niepustym zbiorem, symbole $+, \cdot$ oznaczają dwa działania dwuargumentowe określone w tym zbiorze, a $0$ jest pewnym wyróżnionym elementem. Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli:

struktura $R^+ = (R, +, 0)$ jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną, z działaniem $+$ nazywanym dodawaniem i elementem neutralnym $0$ nazywanym zerem: $\forall_{a, b, c \in R}\; a + (b + c) = (a + b) + c,$ $\forall_{a \in R}\; a + 0 = a,$ $\forall_{a \in R}\; \exists_{b \in R}\; a + b = 0,$ $\forall_{a, b \in R}\; a + b = b + a;$

struktura $(R, \cdot)$ jest półgrupą z działaniem $\cdot$ nazywanym mnożeniem: $\forall_{a, b, c \in R}\; a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c;$

oba działania powiązane są ze sobą prawami rozdzielności: $\forall_{a, b, c \in R}\; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c),$ $\forall_{a, b, c \in R}\; (b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a).$

Ponieważ $R^+$ jest grupą, to pierścień ma dokładnie jedno zero, a element odwrotny do $a$ względem dodawania (element $b$ z trzeciego aksjomatu), nazywany w tym kontekście elementem przeciwnym, jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczany $-a.$

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.
Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Warianty

Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności precyzując nazwę nowej struktury:

pierścień z jedynką – istnienie elementu neutralnego mnożenia nazywanego jedynką: $\exists_{1 \in R}\; \forall_{a \in R}\; a \cdot 1 = 1 \cdot a = a,$

pierścień przemienny – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne): $\forall_{a, b \in R}\; a \cdot b = b \cdot a.$

Uwaga W pierścieniu z jedynką struktura $(R, \cdot, 1)$ jest monoidem (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.

W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką; ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.

Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w działanie mnożenia wektorów, które czyni z niej pierścień.
Idempotentność (łac. idempotent-: idem, „taki sam, równy” i potens, „mieć moc, siłę”, od potis, pote, „móc”; spokr. z gr. πόσις posis, „małżonek”, sanskr. पित pati, „mistrz, małżonek”) – w matematyce i informatyce własność pewnych operacji, która pozwala na ich wielokrotne stosowanie bez zmiany wyniku.

Rodzaje

Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:

pierścień bez dzielników zera – brak właściwych dzielników zera (zob. dalej): $\forall_{a, b \in R \setminus \{0\}}\; a \cdot b \ne 0$

pierścień z dzieleniem – dowolny niezerowy element ma element odwrotny (zakłada się, że pierścień ma jedynkę): $\forall_{a \in R \setminus \{0\}}\; \exists_{b \in R}\; a \cdot b = 1,$

Element odwrotny do $a$ (względem mnożenia; $b$ w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami $a^{-1}$ lub $\tfrac{1}{a}.$ Zbiór $R^*$ elementów odwracalnych pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; przemienną, jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także grupą multiplikatywną. W pierścieniu z dzieleniem jest $R^* = R \setminus \{0\}.$

W algebrze przemiennej, twierdzenie Hilberta o bazie stwierdza, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W języku geometrii algebraicznej można to wypowiedzieć następująco: każdy zbiór algebraiczny nad ciałem może być opisany jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów.
Teoria pierścieni – dział algebry zajmujący się badaniem pierścieni. Znajduje on szerokie zastosowanie w innych obszarach matematyki, między innymi w teorii liczb i geometrii algebraicznej.

Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera, to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)