Pierścień przemienny - Polski Serwis Naukowy

Pierścień przemienny – w teorii pierścieni, dziedzinie algebry abstrakcyjnej, pierścień w którym działanie mnożenia jest przemienne. Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia).

Teoria pierścieni – dział algebry zajmujący się badaniem pierścieni. Znajduje on szerokie zastosowanie w innych obszarach matematyki, między innymi w teorii liczb i geometrii algebraicznej.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Definicja

Szczegóły definicji pierścieni można znaleźć w artykule o pierścieniach.

Pierścień to zbiór $R\;$ wyposażony w dwa działania dwuargumentowe, tzn. działania, które dla dowolnych dwóch elementów dają trzeci, nazywane dodawaniem i mnożeniem, które zwykle oznaczane są plusem oraz kropką, np. $a + b\;$ oraz $a \cdot b.$ Aby dawały pierścień, działania te muszą spełniać pewne własności: pierścień musi być grupą abelową względem dodawania i półgrupą (albo monoidem w przypadku pierścienia z jedynką) względem mnożenia tak, by mnożenie było rozdzielne względem dodawania, tzn. $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c).$ Elementy neutralne dodawania i mnożenia są oznaczane odpowiednio $0$ oraz $1$ (ten ostatni, o ile istnieje, czyli w przypadku pierścienia z jedynką).

Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie mówiące, że każdy skończony pierścień z dzieleniem, tj. taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny, jest ciałem (tzn. działanie mnożenia jest przemienne).

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

Jeśli mnożenie jest przemienne, tzn. $a \cdot b = b \cdot a,$

to pierścień $R\;$ nazywa się przemiennym.

Przykłady

Najważniejszym przykładem pierścienia przemiennego (z jedynką) jest pierścień liczb całkowitych wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia, który oznacza się literą $\mathbb Z$ (od niem. Zahlen, liczby).

Dowolne ciało, jak np. ciała liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, jest pierścieniem przemiennym.

Jednym z prostszych przykładów pierścienia, który nie jest przemienny, jest zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy kwadratowych stopnia $2,$ z działaniami dodawania i mnożenia macierzy, gdyż na przykład:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$

Pierścienie klas reszt modulo $n$ są przemienne dla dowolnego $n \in \mathbb N$ .

Jeżeli $R\;$ jest pierścieniem przemiennym, to zbiór wszystkich wielomianów zmiennej $X\;$ o współczynnikach z $R\;$ wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia wielomianów tworzy pierścień przemienny $R[X]\;$ nazywany pierścieniem wielomianów.

Zbiór wszystkich liczb postaci $a + b \sqrt{5}$ , gdzie $a\;$ i $b\;$ są dowolnymi liczbami całkowitymi.

Twierdzenie Wedderburna: Każdy skończony pierścień z dzieleniem, tj. taki w którym każdy niezerowy element jest odwracalny, jest ciałem (tzn. działanie mnożenia jest przemienne).

Przypisy

Atiyah M. F., Macdonald I. G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.
J. H. M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349-352, 1905. Amer. math. Soc..