Pierwiastek z jedynki - Polski Serwis Naukowy

Ciało liczb zespolonych

Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną różną od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia nazywa się dowolną liczbę zespoloną z spełniającą równość: $z^n = 1$ .

Pierwiastki z jedynki nazywa się też liczbami de Moivre'a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre'a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki n-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o $n$ bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie $1$ . Realizują one podział tego okręgu na n równych części.

Matematyka (. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Przykłady

Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy $1$ .

Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są $+1$ oraz $-1$ .

Pierwiastki sześcienne z jedynki to

$1, \tfrac{-1 + i\sqrt 3}{2}, \tfrac{-1 - i\sqrt 3}{2}$ ,

Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru

$\{1, +i, -1, -i\}$ .

Własności

Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie $n\;$ różnych pierwiastków stopnia $n$ z jedynki:

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

$\varepsilon_n^{(k)} = \cos\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) = e^\frac{2\pi i k}{n}$ , gdzie $k = 0, 1, \dots, n-1$ .

Dla $n > 1$ wszystkie pierwiastki z jedynki $n$ -tego stopnia sumują się do $0$ : $\sum_{k=0}^{n-1} e^\frac{2\pi i k}{n} = 0$ .

Przypadek $n=2$ powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Pierwiastki z jedynki w dowolnym ciele

Jeśli K jest ciałem, a n jest dowolną liczbą naturalną większą od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia w ciele K nazywa się element $a \in K$ spełniający równość: $a^n = 1\;$ .

Grupa

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia $n$ tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze lub, równoważnie, ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się parami względnie pierwszymi.

Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu $n$ , zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt $\mathbb Z_n$ . Generatorami tej grupy są te pierwiastki $\varepsilon_n^{(k)}$ dla których $\mbox{NWD}(n, k) = 1\;$ , czyli liczby $n\;$ i $k\;$ są względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia n z jedynki jest równa $\varphi(n)\;$ , gdzie $\varphi\;$ jest funkcją Eulera.

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur - funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury A w uniwersum struktury B, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

Grupa cykliczna – grupa, której wszystkie elementy można wyrazić przy pomocy potęg pewnego jej elementu . Równoważnie, jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).

Grupy $\mathbb C_n$ wyczerpują skończone podgrupy grupy multyplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy $\mathbb C_{p^\infty} \overset\underset\mathrm{def}\ = \bigcup_{n=1}^\infty~\mathbb C_{p^n}$ ,

gdzie $p$ jest ustaloną liczbą pierwszą.

Przypisy

van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967. , tłum. ros.,Москва 1976, s. 153
Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86.

Zobacz też

liczby zespolone

addytywna grupa klas reszt

ciało algebraicznie domknięte

Bibliografia

Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.

van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967. , tłum. ros.,Москва 1976, s. 153-158

Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86-88.