Pochodna - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zapoznaj się również z: inne znaczenia tego wyrazu.

Pochodna – w analizie matematycznej miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów.

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych

Zapoznaj się również z: iloraz różnicowy i granica funkcji.

Niech $y = f(x)\;$ będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej $x$ określoną w otoczeniu punktu $x_0$ . Pochodną funkcji f(x) w punkcie $x_0$ nazywamy granicę (o ile istnieje): $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Co symbolicznie zapisuje się w jednej z postaci:

Słaba pochodna - rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} f(x_0) = f'(x_0) = y'(x_0)$ ,

We wzorze tym:

$\Delta x\;$ jest przyrostem zmiennej niezależnej x,

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\;$ jest przyrostem zmiennej zależnej y,

Wyrażenie $\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ nazywa się ilorazem różnicowym; jest on funkcją przyrostu zmiennej niezależnej.

Jeżeli przyjmie się, że $x = x_0 + \Delta x$ , to pochodną w punkcie $x_0$ można zapisać następująco: $\lim_{x \to x_0}~\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ .

Często w publikacjach przyrost $\Delta x$ oznacza się literą h. Wtedy pochodna jest równa:

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.
Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

$\lim_{h \to 0}~\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ .

Jeśli funkcja $\scriptstyle f$ ma pochodną dla każdego elementu swej dziedziny $\scriptstyle U,$ to można rozważać odwzorowanie przypisujące każdemu argumentowi, jego pochodną dla tego elementu. Przekształcenie to nazywa się funkcją pochodną funkcji $\scriptstyle f$ lub krótko: pochodną $\scriptstyle f;$ w dalszej części artykułu będzie ono oznaczane symbolem $\scriptstyle f'$ – pozostałe oznaczenia opisano w oddzielnej sekcji – w ten sposób $\scriptstyle f'(x)$ oznaczać będzie pochodną funkcji $\scriptstyle f$ dla argumentu $\scriptstyle x;$ w tym wypadku $\scriptstyle f'$ również jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.

Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem przekształcenia liniowego dwóch skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Zachodzący izomorfizm sprawia, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze.
Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

Własności funkcji pochodnej

iloczyn pochodnej przez stałą,

$(af)'(x) = af'(x)\;$

pochodną sumy funkcji (addytywność),

$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\;$ ;

pochodną iloczynu funkcji (reguła Leibniza),

$(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\;$

pochodną złożenia funkcji (reguła łańcuchowa),

$f'(x) = h'\bigl(g(x)\bigr) g'(x) \quad\text{ dla }\quad f(x) = h(g(x)).$

pochodną funkcji odwrotnej,

$\left(f^{-1}\right)'(y) = \bigl(f'(x)\bigr)^{-1}, \quad\text{ o ile }\quad f'(x) \ne 0.$

pochodną odwrotności funkcji (reguła odwrotności),

$\left(\tfrac{1}{g(x)}\right)' = \frac{-g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0$

pochodną ilorazu funkcji (reguła ilorazu),

$\left(\tfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0$ .

Przykłady

Zobacz w Wikiźródłach tablicę pochodnych

Istnieje pewien zestaw funkcji uważanych za elementarne, które wykorzystuje się do obliczania pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji i ich złożeń; niech $\scriptstyle a$ oznacza stałą, zaś $\scriptstyle n$ będzie liczbą naturalną, wówczas:

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.
Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

funkcje stałe i funkcje potęgowe, $(a)' = 0, \qquad\qquad (x^n)' = nx^{n-1};$

funkcje wykładnicze i logarytmiczne $\begin{matrix} \left(e^x\right)' = e^x, & \qquad (a^x)' = a^x \ln a; \\ (\ln x)' = \frac{1}{x}, & \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}; \end{matrix}$

funkcje trygonometryczne, $(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x;$ $(\mathrm{tg}\; x)' = \sec^2 x = \tfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \mathrm{tg}^2\; x.$

funkcje cyklometryczne, $(\arcsin x)' = \tfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}};$ $(\arccos x)' = -\tfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}};$ $(\mathrm{arctg}\; x)' = \tfrac{1}{{1 + x^2}};$ $(\mathrm{arcctg}\; x)' = -\tfrac{1}{{1 + x^2}};$

wszędzie, gdzie powyższe wzory mają sens.

Pochodne wyższego rzędu

Jeżeli pochodna funkcji $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ i stnieje w każdym punkcie przedziału otwartego (a, b), to otrzymujemy funkcję $f': (a, b) \to \mathbb{R}$ , taką że $x \mapsto f'(x)$ dla x ∈ (a, b).

Funkcję tę nazywamy pierwszą pochodną funkcji f. Ta funkcja może być również różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b). Różniczkując ją, otrzymujemy drugą pochodną funkcji f:

Asymptotyczne tempo wzrostu jest miarą określającą zachowanie wartości funkcji wraz ze wzrostem jej argumentów. Stosowane jest szczególnie często w teorii obliczeń, w celu opisu złożoności obliczeniowej, czyli zależności ilości potrzebnych zasobów (np. czasu lub pamięci) od rozmiaru danych wejściowych algorytmu. Asymptotyczne tempo wzrostu opisuje jak szybko dana funkcja rośnie lub maleje, abstrahując od konkretnej postaci tych zmian.
Carl Gustav Jakob Jacobi (ur. 10 grudnia 1804 w Poczdamie - zm. 18 lutego 1851 w Berlinie) – matematyk niemiecki. Profesor uniwersytetu w Królewcu. Członek między innymi Berlińskiej Akademii Nauk.

$x \mapsto f''(x)$ dla x ∈ (a, b).

Oznaczamy to następująco: $f''(x) = f^{(2)}(x) = (f'(x))'\;$ lub $y'' = (y')'\;$ .

Ogólnie pochodną rzędu n określamy rekurencyjnie: $f^{(n)}(x) = (f^{(n - 1)}(x))'\;$ lub $y^{(n)} = (y^{(n - 1)})'\;$ .

Przykłady

$(e^x)^{(n)} = e^x\;$
$(x^m)' = m x^{m - 1}, (x^m)'' = m (m - 1) x^{m - 2}, \cdots (x^m)^{(n)} = m (m - 1) \cdots (m - n + 1) x^{m - n}$
$(x^m)^{(m)} = m!, (x^m )^{(m + 1)} = 0\;$
$(a^x)^{(n)} = a^x \ln^{n} a\;$
$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{\pi n}{2}), (\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{\pi n}{2})$
n-tą pochodną iloczynu funkcji można wyrazić za pomocą pochodnych czynników oraz współczynników Newtona wzorem:

$(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{n - k} v^{k}$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)