Pochodna cząstkowa - Polski Serwis Naukowy

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).

Pochodne cząstkowe funkcji $f$ względem zmiennej $x$ oznacza się symbolami $\frac{\partial f}{\partial x},\; f^\prime_x,\; f_x \text{ lub } \partial_x f.$

Symbol pochodnej cząstkowej ∂ to zaokrąglona wersja litery alfabetu greckiego delta. Notacja ta wynaleziona przez Adriena-Marie Legendre'a zyskała akceptację ogółu po jej wprowadzeniu na nowo przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego

Tradycyjnie mówi się, że notacja $\tfrac{\partial f}{\partial x}$ pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, zaś $f^\prime_x$ to symbolika zaczerpnięta od Josepha Louisa Lagrange'a.

Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące w danym punkcie kierunek najszybszego wzrostu danego pola skalarnego, a jego moduł (długość) jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Wprowadzenie

Rysunek 1.

Rysunek 2.

Niech $f$ będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo $z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2.$

Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny $xz$ czy $yz.$

Joseph Louis Lagrange (wł. Giuseppe Lodovico (Luigi) Lagrangia, ur. 25 stycznia 1736 r. w Turynie, zm. 10 kwietnia 1813 r. w Paryżu) – matematyk i astronom włoskiego pochodzenia, ale pracujący we Francji i przez dwadzieścia lat w Berlinie dla króla pruskiego Fryderyka II.

Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie pojęcie to badał Michaił Ostrogradski).

Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w $(1, 1, 3),$ która jest równoległa do płaszczyzny $xz$ należy traktować zmienną $y$ jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie $y = 1.$ Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że $y$ jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji $f$ w punkcie $(x, y, z),$ którym jest

Geometria różniczkowa – dziedzina geometrii, badająca krzywe, powierzchnie i ich wielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami, opierając się na geometrii analitycznej, szeroko stosując metody analizy matematycznej, głównie rachunku różniczkowego.

Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania takich pojęć jak praca, strumień pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzącego przez powierzchnię, potencjały pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y.$

W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie $(1, 1, 3)$ wynosi $3.$ Dlatego $\frac{\partial z}{\partial x} = 3$

w punkcie $(1, 1, 3).$ Innymi słowy pochodna cząstkowa $z$ względem $x$ w punkcie $(1, 1, 3)$ jest równa $3.$

Definicja

Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^n$ i dane będą punkt $\mathrm a = (a_1, \dots, a_n)$ oraz funkcja $f\colon U \to \mathbb R.$

Jeżeli istnieje skończona granica

Pochodna kierunkowa – w analizie matematycznej, dziale matematyki, pojęcie charakteryzujące przyrost wartości funkcji w kierunku ustalonego wektora. Stanowi ono uogólnienie pochodnej cząstkowej, w której wspomniane wektory są równoległe względem osi układu.

Zbiór otwarty – podstawowe pojęcie topologii. W przestrzeni metrycznej (a w szczególności w przestrzeni euklidesowej) jest to zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewną kulę o środku w tym punkcie, tzn. taki, w którym dla każdego punktu zbioru istnieje otoczenie w całości zawarte w tym zbiorze.

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_k+h, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n)}{h},$ ,

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji $f$ w punkcie $\mathrm a$ względem zmiennej $a_k$ i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.

Związek ze "zwykłą" pochodną

Jeżeli oznaczyć $g(a_k) = f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n),$ to $f^\prime_x(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a_k) - g(a_k + h)}{h}$

jest po prostu pochodną $g^\prime(a_k)$ funkcji $g.$

Na przykład dla funkcji $f(x,y) = x^3 + 3xy - y^2\;$

można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y: $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f^\prime_{x}(x,y)=3x^2+3y$ $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=f^\prime_{y}(x,y)=3x-2y$

Pochodne wyższych rzędów

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Delta (dhelta, δελτα, Δδ) jest czwartą literą alfabetu greckiego, oznaczającą spółgłoskę zwarto-wybuchową "d". Współcześnie, w języku nowogreckim jest wymawiana jako głoska międzyzębowa, zbliżona do angielskiego "th" /ð/, jak w wyrazie "the".

Alfabet grecki – powstały ok. IX w. p.n.e. alfabet służący do zapisu języka greckiego i języków kilku ludów znajdujących się pod wpływem kultury greckiej. Jego znaki służyły Grekom także do zapisu liczb oraz do notacji muzycznej. We wczesnej starożytności istniało wiele form alfabetu greckiego, wypartych w okresie klasycznym przez formę jońską (zachodnią), której w niezmienionej postaci używa się do dziś do zapisu języka nowogreckiego.

Pochodne czyste $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=f^{\prime\prime}_{xx}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}(3x^2+3y) = 6x$ $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=f^{\prime\prime}_{yy}(x,y)= \frac{\partial}{\partial y}(3x-2y) = -2$

i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej) $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = f^{\prime\prime}_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2+3y) = 3$ $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = f^{\prime\prime}_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(3x-2y) = 3$

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ile-krotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Gottfried Wilhelm Leibniz, znany także pod nazwiskiem Leibnitz (ur. 1 lipca 1646 w Lipsku, zm. 14 listopada 1716 w Hanowerze) – niemiecki filozof, matematyk, prawnik, inżynier–mechanik, fizyk, historyk [1] i dyplomata.

Matematyka (. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład $\frac{\partial^2 f}{\partial x{}\partial y}{(x,y)}$

jest pochodną rzędu $2$ .

Zobacz też

Przypisy

Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Calculus (ang.). W: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols [on-line]. 2009-06-14. [dostęp 2010-02-20].

Bibliografia

Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. II. Warszawa: PWN, 1953, s. 10.