Podobieństwo - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy geometrii. Zapoznaj się również z: podobieństwo macierzy.

Definicja intuicyjna:
figury podobne to figury mające ten sam kształt, ale mogące różnić się wielkością.

Podobieństwo – przekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Także relacja równoważności utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą.

Definicja

Podobieństwo to przekształcenie przestrzeni metrycznej $(X,d)\,$ na siebie spełniające dla dowolnych dwóch punktów $M, N\,$ i pewnej liczby $k > 0\,$ zależność:

Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

$d(M',N') = k\cdot d(M,N)$ .

gdzie punkty $M', N'\,$ są obrazami punktów odpowiednio $M, N\,$ , a $d\,$ – metryką (odległością) dwóch dowolnych punktów zbioru $X\,$ .

Liczbę $k\,$ nazywa się skalą bądź stosunkiem podobieństwa.

Gdy $k=1$ , podobieństwo jest izometrią.

W szczególności $X\,$ może być prostą, płaszczyzną lub przestrzenią trójwymiarową ze zwykłą odległością euklidesową.

Podobieństwem nazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco:

Przekształcenie, odwzorowanie geometryczne – w szerszym znaczeniu funkcja przekształcająca zbiór punktów, nazywany figurą geometryczną, w pewien inny zbiór punktów w przestrzeni geometrycznej. W węższym znaczeniu jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń geometryczną na siebie; ta druga definicja jest stosowana przy określaniu przekształceń geometrycznych tworzących grupy przekształceń.

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

dwie figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

Często fakt podobieństwa figur $\;A$ i $\;B$ oznacza się symbolicznie jako $\;A \sim B$ .

Przykłady

Figury podobne zaznaczono tym samym kolorem

Figurami podobnymi są dowolne dwa odcinki, dwa okręgi, koła, sfery, kule, wielokąty foremne o tej samej liczbie boków, wielościany foremne o tej samej liczbie ścian, parabole.

Własności

Złożenie podobieństw o skalach $k_1, k_2$ jest podobieństwem o skali $k_1 k_2$

Przekształcenie odwrotne do podobieństwa o skali $k$ jest podobieństwem o skali $\tfrac{1}{k}$ .

Dowolne podobieństwo przestrzeni euklidesowej jest złożeniem izometrii i jednokładności o skali równej skali podobieństwa.

Dowolne podobieństwo nie będące izometrią ma dokładnie jeden punkt stały przekształcenia.

Z definicji oraz powyższych własności wynika, że w figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych:

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.

stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,

odpowiadające sobie kąty są przystające,

stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa,

stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

Podobieństwa tworzą grupę przekształceń geometrycznych. Niezmienniki określające jednoznacznie grupę podobieństw:

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Przystawanie – cecha figur geometrycznych intuicyjnie rozumiana jako identyczność kształtu i wielkości. Dwie figury uważa się za przystające, jeśli istnieje izometria całej przestrzeni przekształcająca jedną figurę na drugą. Ponieważ każdą izometrię można rozłożyć na obroty i translacje, i ewentualnie symetrię, więc daje to wygodne kryterium rozpoznawania figur przystających:

stosunek długości odcinków,

równość odcinków,

miara kąta,

prostokąt,

okrąg, koło,

sfera, kula.

Zobacz też

przystawanie

proporcjonalność

indeks Jaccarda

odległość Hamminga (podobieństwo ciągów)