Podstawa logarytmu naturalnego - Polski Serwis Naukowy

Stałe matematyczne

Najważniejsze stałe

Inne stałe

Λ • EB • M • B2 • B4 • B´L • K • C2

Tematy powiązane

„Najpiękniejszy wzór matematyki” • Dzień Liczby π • Liczby Fibonacciego • Srebrny podział odcinka

Podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) w przybliżeniu wynosi 2,7182818 (ciąg A001113 w OEIS), oznacza się ją literą e.

Definicja

Liczba e jest zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

W rachunku całkowym, każda całka nieoznaczona danej funkcji (tj. zbiór funkcji pierwotnych) jest zapisywana jako suma jednej z funkcji pierwotnych oraz stałej, zwanej stałą całkowania. Jeżeli dziedziną funkcji f jest przedział, to stała ta parametryzuje rodzinę funkcji pierwotnych.
Granica – pojęcie używane w matematyce pojęcie na określenie zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.

Granica ciągu

Jako granica ciągu, e jest określana przez $e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n$ Dowód zbieżności

Wykażemy, że ciąg $\Big((1+\tfrac 1 n)^n\Big)_{n\in\mathbb N}$ jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Połóżmy $a_n = \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n$ . Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb $x_1,\ldots,x_{n+1}$ zachodzi następująca nierówność Cauchy'ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną: (*) $\frac{x_1+\ldots+x_{n+1}}{n+1}\geqslant (x_1\cdot \ldots\cdot x_{n+1})^{1/(n+1)}$

Rozważając $x_1 = \dots = x_n = 1+\tfrac{1}{n}$ oraz $x_{n+1} = 1$ otrzymujemy

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei
Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

${{1+\tfrac{1}{n} + \dots + 1+\tfrac{1}{n} + 1} \over {n+1}} \geqslant \left((1+\tfrac{1}{n}) \dots (1+\tfrac{1}{n}) \cdot 1\right)^{1/(n+1)}$

a stąd $\left(\tfrac{n+2} {n+1}\right)^{n+1} \geqslant \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n$ więc również $\left(1 + \tfrac 1 {n+1}\right)^{n+1} \geqslant \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n$ i $a_{n+1}\geqslant a_n$ . Czyli ciąg $(a_n)_n$ jest niemalejący.

Połóżmy $b_n = \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n+1}$ i zauważmy, że $a_n\leqslant b_n ={1 \over \left(\tfrac{n}{n+1}\right)^{n+1}} = {1 \over \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}$ .

Z nierówności (*) zastosowanej do $x_1 = \dots = x_{n+1} = 1-\tfrac{1}{n+1}$ oraz $x_{n+2} = 1$ otrzymujemy, że: ${{1-\frac{1}{n+1} + \dots + 1-\frac{1}{n+1} + 1} \over {n+2}} \geqslant \left(\left(1-\tfrac{1}{n+1}\right) \dots \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right) \cdot 1\right)^{1/(n+2)}$ .

Stąd $\left( \tfrac{n+1} {n+2} \right)^{n+2} \geqslant \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}$ a więc też $\left(1-\tfrac{1}{n+2}\right)^{n+2} \geqslant \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}$ . Czyli ciąg $\Big( (1-\tfrac{1}{n+1})^{n+1}\Big)_{n\in\mathbb N}$ jest niemalejący. Ponieważ $b_n = {1 \over (1-\frac{1}{n+1})^{n+1}}$ , to możemy wywnioskować że ciąg $(b_n)$ jest nierosnący, a stąd $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_n \leqslant b_n \leqslant \ldots \leqslant b_2 \leqslant b_1$ .

Ciąg $(a_n)$ jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez $b_1$ ), a więc jest zbieżny.

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Suma szeregu

Jako suma szeregu, e jest określana przez $e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

gdzie n! jest silnią liczby n.

Przy pomocy całki

Liczbę e można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że: $\int\limits_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}$

(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą $f(t)=1/t$ od 1 do e jest równe 1).

Przy pomocy funkcji

Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji

1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba jest podzielna przez 1.
Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.

$f(x)=x^{1/x}$ , $x>0$

dla którego jej wartość jest największa.

Właściwości

e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite).

e jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1

e jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.

pochodna funkcji $(e^x)'=e^x\;$

całka funkcji $\int e^x\,dx=e^x + C$ , gdzie C jest dowolną stałą całkowania.

z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e jest odwrotną do logarytmu naturalnego: $\ \ln e^x=x$ $\ e^{\ln x}=x$

Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też "najpiękniejszym wzorem matematyki"), wiążącej e z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną i, π, jednością i zerem: $\ e^{i\pi}+1=0$

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)