Podzbiór - Polski Serwis Naukowy

Diagram Eulera: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.
Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Definicja

Niech $A, B$ będą zbiorami. Jeżeli każdy element $x \in A$ jest jednocześnie elementem $B$ , to zbiór $A$ nazywa się podzbiorem zbioru $B$ . W zapisie logicznym: $A \subseteq B \iff \forall_{x \in A}\ x \in B$ ,

inaczej fakt ten można wyrazić jako $A \subseteq B \iff (x \in A \Rightarrow x \in B)$ .

Jeżeli $A$ jest podzbiorem $B$ , to sam zbiór $B$ nazywa się nadzbiorem zbioru $A$ i oznacza $B \supseteq A$ .

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru $B$ należy do $A$ , to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór $A$ zbioru $B$ nazywa się niewłaściwym. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc $B \subseteq B$ . W przeciwnym wypadku, czyli gdy $A \subseteq B$ oraz $A \ne B$ , zbiór $A$ nazywa się podzbiorem właściwym zbioru $B$ i oznacza $A \subsetneq B$ . Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Kwadrat – wielokąt foremny (czworokąt), posiadający cztery boki równej długości oraz cztery kąty wewnętrzne o równej wartości wynoszącej 90°. Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta o wszystkich bokach równej długości. Jest on również szczególnym przypadkiem rombu, którego wszystkie kąty wewnętrzne są proste. Można powiedzieć, że kwadrat to prostokąt będący jednocześnie rombem.
Prostokąt - w planimetrii, czworokąt, który ma wszystkie wewnętrzne kąty proste (stąd również jego nazwa). Prostokąt jest szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego oraz równoległoboku. Szczególnym przypadkiem prostokąta (o wszystkich bokach tej samej długości) jest kwadrat.

Zapis

W starszych pozycjach do oznaczenia bycia podzbiorem bądź nadzbiorem wykorzystywane były jedynie symbole $\subset$ oraz $\supset$ , a fakt bycia podzbiorem (nadzbiorem) właściwym zaznaczany był obok. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków $\subseteq$ i $\supseteq$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości) pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych. Ponieważ część autorów przyjęła nową konwencję, a część z nich pozostała przy starych oznaczeniach, znaczenie symboli $\subset$ i $\supset$ nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole $\subsetneq$ i $\supsetneq$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

Relacja – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego skończonej liczby zbiorów; definicja ta oddaje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (elementy wspomnianych zbiorów pozostają w związku albo łączy je pewna zależność, czy też własność lub nie). Najważniejszymi relacjami są relacje dwuargumentowe, tj. między elementami pary zbiorów (opisane w osobnym artykule, w tym funkcje i działania jednoargumentowe); relacje jednoargumentowe to po prostu podzbiory pewnego zbioru.
Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)