Pojęcie forsingu - Polski Serwis Naukowy

Pojęcie forsingu – praporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli $({\mathbb P},\leqslant)$ jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru ${\mathbb P}$ są nazywane warunkami, a dla $p, q\in {\mathbb P}$ takich że $q\leqslant p$ mówimy że warunek $q$ jest silniejszy niż warunek $p$ . Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Shelah i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu.

Alfabet (nazwa pochodzi od pierwszych liter alfabetu greckiego: alfa i beta) – najpopularniejszy system zapisywania mowy. Terminu używany w trzech głównych, powiązanych ze sobą i niekiedy mylonych znaczeniach, co jest źródłem licznych nieporozumień w dziedzinie historii i teorii pisma, oraz w jednym znaczeniu pochodnym. Piąty sens obejmuje użycie niepoprawne, czyli nazywanie "alfabetami" systemów nie będących nimi (pseudoalfabetów).
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole'a, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu.

Związek z zupełnymi algebrami Boole'a

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole'a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole'a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Saharon Shelah (hebr. שהרן שלח) (ur. 3 lipca 1945 w Jerozolimie), izraelski matematyk, laureat wielu nagród, w tym Nagrody Wolfa z matematyki w 2001 roku. Profesor matematyki na Uniwersytecie Hebrajskim w Jerozolimie i w Rutgers University (stan New Jersey).
PFA (z ang. proper forcing axiom) - jeden z aksjomatów forsingowych używanych w teorii mnogości, topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych.

Niech $(X,\tau)$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór $U\subseteq X$ jest regularnie otwarty jeśli ${\rm int}({\rm cl}(U))=U$ (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie ${\rm RO}(X)$ wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez: $U+V={\rm int}({\rm cl}(U\cup V))$ , $U\cdot V=U\cap V$ oraz $\sim U=X\setminus {\rm cl}(U)$ .

Wówczas $({\rm RO}(X),+,\cdot,\sim,\varnothing,X)$ jest zupełną algebrą Boole'a.

Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.
Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Powiemy, że porządek częściowy $({\mathbb P},\leqslant)$ jest separatywny jeśli dla każdych warunków $p, q\in {\mathbb P}$ takich że $q\not\leqslant p$ można znaleźć warunek $r\in {\mathbb P}$ który jest silniejszy niż q (tzn $r\leqslant q$ ) oraz sprzeczny z p (tzn nie ma żadnego warunku $s\in {\mathbb P}$ który by spełniał jednocześnie $s\leqslant p$ oraz $s\leqslant r$ ).

Przypuśćmy teraz, że $({\mathbb P},\leqslant)$ jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla $p\in {\mathbb P}$ połóżmy $U_p=\{q\in {\mathbb P}:q\leqslant p\}$ . Wówczas rodzina $\{U_p:p\in {\mathbb P}\}$ jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze ${\mathbb P}$ . Każdy zbiór $U_p$ jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie $p\mapsto U_p:{\mathbb P}\longrightarrow {\rm RO}({\mathbb P})$

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry ${\rm RO}({\mathbb P})$ (tzn każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór ${\mathbb P}$ zawiera pewien zbiór $U_p$ ( $p\in {\mathbb P}$ )).

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (skr. ZF) – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r., który został później uzupełniony przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o aksjomat wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.
Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole'a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu identycznościowego na ${\mathbb P}$ .)

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).
Baza przestrzeni topologicznej - dla danej przestrzeni topologicznej X, rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni X o tej własności, że każdy zbiór otwarty w X można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę - jeżeli τ jest topologią w zbiorze X, to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)