Pole powierzchni - Polski Serwis Naukowy

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.

Konstrukcja pojęcia pola

I Definicja

Osobne artykuły: Miara Jordana, Miara Lebesgue'a i Wymiar pudełkowy.

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach $a1$ .
Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez $n1$ .

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz mniejszych bokach $a_1>a_2>a_3>\ldots$ , itd. uzyskujemy ciąg liczb $n1,n2,...$ .
Polem powierzchni nazywamy granicę:

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

$S=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^2$

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie ma podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch rozłącznych figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

W topologii i teorii mnogości, zbiory Bernsteina to bardzo nieregularne podzbiory przestrzeni polskiej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908.

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur

Zbiory

$\{(x,y):0<x<1,\ 0<y<1,\ x,y$ są wymierne $\left \} \right.$ oraz $\{(x,y): 0<x<1,\ 0<y<1,\ x$ jest niewymierny lub $\ {y}$ jest niewymierny $\left \} \right.$ są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole równe 1, skąd możemy wnioskować że pola naszych figur nie można zdefiniować używając podejścia Jordana.

Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.

Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.

Przy założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.

Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue'a.

Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jest niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.

Definicja szkolna

Definicja używana w gimnazjach i szkołach średnich.

Wzór Picka – praktyczny wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki znajdują się w punktach regularnej kwadratowej sieci na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe:

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Obieramy kwadrat o boku 1.
Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja ta podaje tylko dolne oszacowanie pola powierzchni danej figury, którego dokładność zależy od kształtu figury.

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (skr. ZF) – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r., który został później uzupełniony przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o aksjomat wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.

Całka oznaczona – liczba określona dla pewnej funkcji f i zbioru zawartego w dziedzinie funkcji. W przypadku funkcji rzeczywistej jednej zmiennej można całkę oznaczoną interpretować jako różnicę takich dwóch liczb: 1) pola obszaru nad osią odciętych, pod wykresem funkcji w tych miejscach, gdzie jest dodatnia; 2) pola obszaru pod osią odciętych, nad wykresem funkcji w tych miejscach, gdzie jest ujemna; przy czym obszary te są ograniczone do wspomnianego podzbioru dziedziny.

Pole pod krzywą

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej $S=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$

Pola typowych figur

Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi: $S=ab\sin{\alpha}\,$

Prostokąt o bokach a i b: $S=ab\,$ ; o przekątnej p i stosunku proporcji boków ratio: $S=\frac{p^2}{\frac{1}{ratio}+ratio}$

Kwadrat o boku a: $S=a^2\,$ ; o przekątnej p: $S=\frac{p^2}{2}$

pole obszaru ograniczonego przez elipsę o półosiach a i b: $S=\pi ab\,$

Koło o promieniu r: $S=\pi r^2\,$

Trójkąt o podstawie a, wysokości h i kącie α między bokami c i d: $S=\frac{ah}{2}=\frac{cd\sin{\alpha}}{2}$

Wielokąt foremny (n - liczba boków, r – promień okręgu wpisanego w wielokąt, R – promień okręgu opisanego, a – bok wielokąta):

$S=\frac{nar}{2}=nr^2\,\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{n}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{n}{4}a^2\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}$

Trójkąt równoboczny:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

Zobacz też

Wzór Picka