Pole skalarne - Polski Serwis Naukowy

Pole skalarne – w matematyce i fizyce przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru pewnej wielkości skalarnej (w matematyce – liczby, w fizyce zazwyczaj wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego.

Definicja

Z matematycznego punktu widzenia pole skalarne jest funkcją określoną w przestrzeni (w szczególności na płaszczyźnie lub innej powierzchni), której wartościami są liczby z ustalonego zbioru (rzeczywiste lub zespolone): $F\colon \mathbb R^n \to \mathbb R$

lub

Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące w danym punkcie kierunek najszybszego wzrostu danego pola skalarnego, a jego moduł (długość) jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

$F\colon \mathbb R^n \to \mathbb C$

Analiza i obrazowanie

Pola zdefiniowane jako funkcje matematyczne bada dział fizyki zwany teorią pola. Do analizy funkcji stosuje się rachunek różniczkowy, w którym wymaga się, aby funkcja F była ciągła lub różniczkowalna (jedno- lub wielokrotnie). Różniczki funkcji przedstawia się jako operatory różniczkowe, nadaje się im nazwy. Takim operatorem różniczkowym dla pola skalarnego jest gradient pola, który do danego pola podaje równoważne pole wektorowe.

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Pole skalarne obrazuje się przez podanie wartości pola w wybranych punktach lub przez połączenie punktów o jednakowej wartości liniami lub powierzchniami. Przykładem takiego przedstawienia są izobary (linie jednakowego ciśnienia) na mapie pogody lub warstwice (izohipsy, linie stałej wysokości) oraz izobaty, linie stałej głębokości na mapie fizycznej, które ogólnie nazywa się liniami pola.

Rachunek różniczkowy i całkowy to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcie granicy. W szczególności własności funkcji bada się za pomocą ich pochodnych i całek.

Izobara – linia ilustrująca na wykresie zmiany parametrów opisujących układ fizyczny podczas przemian izobarycznych, czyli takich, w których ciśnienie jest stałe.

Przykłady

pole gęstości – podaje gęstość substancji w każdym punkcie rozpatrywanej objętości,

pole ciśnienia - podaje ciśnienie w każdym punkcie rozpatrywanej objętości,

potencjał elektryczny - skalarny opis pola elektrostatycznego,

potencjał grawitacyjny - skalarny opis pola grawitacyjnego

pole temperatury - opisuje rozkład temperatury w danym obszarze,

pole Higgsa - hipotetyczne pole nadające masę cząstkom.

Zobacz też

pole tensorowe