Pole wektorowe - Polski Serwis Naukowy

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni $\mathbb{R}^2$

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni $\mathbb{R}^3$

Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Pole skalarne – w matematyce i fizyce przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru pewnej wielkości skalarnej (w matematyce – liczby, w fizyce zazwyczaj wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego.

Definicja

Niech $(X, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta $(H_x)_{x\in X}$ . Elementy produktu $\prod_{x\in X}H_x$ nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól $\mu$ -mierzalnych nazywamy rodzinę $\Gamma=(h^\alpha)_{\alpha \in \Alpha}$ spełniającą warunki:

funkcja $X\ni x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x\in\mathbb{C}$ jest $\mu$ -mierzalna dla $\alpha, \beta\in \Alpha$ .
$\mbox{lin}\{(h^\alpha(x))_{\alpha\in\Alpha}\}=H_x$ dla każdego $x\in X$ .

Pole wektorowe $h\in \prod_{x\in X}H_x$

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje $x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x$ są $\mu$ -mierzalne.

Pole elektryczne – stan przestrzeni otaczającej ładunki elektryczne lub zmienne pole magnetyczne. W polu elektrycznym na ładunek elektryczny działa siła elektrostatyczna.

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Pola $\mu$ -mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu $\prod_{x\in X}H_x$

Przykłady

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

pole grawitacyjne reprezentowane przez natężenie pola grawitacyjnego

pole elektryczne reprezentowane przez natężenie pola elektrycznego

indukcja magnetyczna

pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni

Badaniem pól zajmuje się teoretyczny dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Krzysztof Maurin /fon. "Morę"/ (ur. 1923) – polski matematyk i fizyk matematyczny, od 1966 r. profesor zwyczajny matematyki na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, obecnie emerytowany.

Natężenie pola grawitacyjnego - wektorowa wielkość fizyczna charakteryzująca pole grawitacyjne. Równa jest sile, z jaką dane pole grawitacyjne działa na jednostkową masę. Inaczej mówiąc natężenie pola grawitacyjnego można obliczyć dzieląc siłę grawitacyjną działającą na pewne ciało przez masę tego ciała

Zobacz też

W Wikimedia Commons znajdują się multimedia związane z tematem:
Pole wektorowe

teoria pola

pole skalarne, iloczyn skalarny

iloczyn wektorowy

pole tensorowe, iloczyn tensorowy

Przypisy

Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta $(H_x, (\cdot | \cdot )_x), \; x\in X$ .
Zob. podprzestrzeń liniowa.
Oczywiście, produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową.

Bibliografia

Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.