Porządek liniowy - Polski Serwis Naukowy

Ilustracja porządku liniowego

Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Definicje

Porządek liniowy to porządek częściowy $\preccurlyeq$ na danym zbiorze $X$ spełniający warunek spójności $\forall_{a, b \in X}\; a \preccurlyeq b \or b \preccurlyeq a$ .

Parę uporządkowaną $(X, \preccurlyeq)$ nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym lub też zbiorem całkowicie uporządkowanym. Symbol $\prec$ będzie oznaczał porządek ostry, tzn. relację zdefiniowaną wzorem

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.
Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

$x \prec y \iff x \preccurlyeq y \and x \neq y$ .

Podzbiór $A$ zbioru $X$ nazywa się

gęstym, jeśli zachodzi $\forall_{x,y\in X, x \prec y}\; \exists_{z\in A}\; x \prec z \prec y;$

ograniczonym z góry, jeśli $\exists_{x\in X}\; \forall_{a\in A} a \preccurlyeq x$ .

Mówi się, że $(X, \preccurlyeq)$ jest

porządkiem bez końców, jeśli w $X$ nie ma tak elementu najmniejszego jak i nawiększego, tzn. jeśli zachodzi $\forall_{x\in X}\; \exists_{y\in X}\; x \prec y$ oraz $\forall_{x\in X}\; \exists_{y\in X}\; y \prec x;$

porządkiem relatywnie zupełnym, jeśli każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny. Wtedy także każdy niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.

porządkiem gęstym, jeśli $X$ jest gęstym podzbiorem $X$ .

Topologia porządkowa - topologia wyznaczona przez porządek liniowy w pewnym zbiorze. Naturalnym przykładem topologii porządkowej jest prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały otwarte.
Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)