Potęga - Polski Serwis Naukowy

Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.

Na przykład:

Teoria złożoności obliczeniowej to dział teorii obliczeń. Głównym jej celem jest określanie ilości zasobów potrzebnych do rozwiązania problemów obliczeniowych. Rozważanymi zasobami są takie wielkości jak czas, pamięć lub liczba procesorów. Za twórców tej teorii uważani są Juris Hartmanis i Richard Stearns. Jako przykłady problemów t.z.o. można podać: problem spełnialności, problem najkrótszej ścieżki, problem faktoryzacji oraz wiele innych o których wiadomo że są obliczalne. Kwestią obliczalności zajmuje się teoria obliczalności, będąca drugą ważną gałęzią teorii obliczeń.
Płaszczyzna zespolona (p. Arganda, Gaussa) – w matematyce, geometryczna reprezentacja współrzędnych zespolonych, tworzona przez oś rzeczywistą i oś urojoną. Można ją określić jako zmodyfikowany kartezjański układ współrzędnych, z częścią rzeczywistą reprezentowaną przez oś "x" i częścią urojoną reprezentowaną przez oś "y".

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

gdzie podstawą potęgi jest liczba 3, a wykładnikiem liczba 4.

Drugą potęgę nazywa się często kwadratem, a trzecią – sześcianem (zwykle w stosunku do wartości liczbowych, choć nie tylko). Określenia te nawiązują do geometrii, gdyż pole powierzchni kwadratu o boku długości $a$ wynosi $a^2$ , a objętość sześcianu o tym samym boku jest równa $a^3$ .

Potęga naturalna

Niech $a$ oraz $n$ będą liczbami naturalnymi. Symbol $a^n$ oznacza wtedy $n$ -krotne mnożenie elementu $a$ przez siebie, czyli

Okrąg jednostkowy – w matematyce okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie (0,0), układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem S1; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.
Ada to strukturalny, kompilowany, imperatywny, statycznie typowany i obiektowy język programowania opracowany przez Jean Ichbiaha i zespół z CII Honeywell Bull w latach 70. XX wieku. Język ten wygrał konkurs zorganizowany przez Departament Obrony USA (U.S. Department of Defense – DoD), pokonując 19 innych projektów. Nazwa języka, nadana przez DoD, pochodzi od imienia lady Augusty Ady Lovelace, uważanej za pierwszą programistkę w historii.

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_n$

i czyta się go $a$ podniesione do $n$ -tej potęgi, $a$ do $n$ -tej potęgi lub nawet $a$ do $n$ -tej. W szczególności

Z definicji potęgi wynika, iż $0^n = 0$ oraz $1^n = 1$ dla dowolnego $n \in \mathbb N_+$ .

Definicja ta ma sens, jeżeli elementy $a$ pochodzą ze zbioru, w którym istnieje dobrze określone mnożenie (bądź składanie, zob. definicję grupy) elementów: najmniejsze wymagania względem niego, to bycie dwuargumentowym działaniem łącznym. W szczególności $a$ może być również elementem dobrze znanych struktur takich jak liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, czy zespolone.

Algorytm szybkiego potęgowania – metoda pozwalająca na szybkie obliczenie potęgi o wykładniku naturalnym. Metoda ta wykorzystuje pośrednio dwójkową reprezentację wykładnika potęgi, a jej złożoność, wyrażona jako liczba wykonywanych mnożeń, wynosi Θ(logn), gdzie n oznacza wykładnik obliczanej potęgi.
Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Zasadniczą własnością potęgi jest, iż dla dowolnych $m, n \in \mathbb N$ zachodzi

Wynika ona z faktu, że $a^{m + 1} = a^m \cdot a$

W tym przypadku 0 można zaliczyć do liczb naturalnych: ponieważ $a^m = a^{m + 0} = a^m \cdot a^0$ ,

to przyjmuje się, że

Przypadek $0^0$ nie jest jednoznaczny, omówiono go oddzielnie w dalszej części artykułu.

Potęga całkowita

Definicję potęgowania łatwo rozszerza się na wykładniki ujemne: wyżej wystarczy przyjąć, iż $m, n \in \mathbb Z$ . Z powyższych obserwacji wynika, iż

RSA - jeden z pierwszych i obecnie jeden z najpopularniejszych asymetrycznych algorytmów kryptograficznych, zaprojektowany w 1977 przez Rona Rivesta, Adi Shamira oraz Leonarda Adlemana. Pierwszy, który można stosować zarówno do szyfrowania jak i do podpisów cyfrowych. Bezpieczeństwo szyfrowania opiera się na trudności faktoryzacji dużych liczb złożonych. Jego nazwa pochodzi od pierwszych liter nazwisk jego twórców.
Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

$1 = a^0 = a^{1 + (-1)} = a \cdot a^{-1}$

Z definicji elementu odwrotnego wynika, że $a^{-1} = \tfrac{1}{a}$ , o ile $a$ należy do zbioru, w którym określono dzielenie, przy czym $a \ne 0$ (konieczne jest i wystarczy, by $a$ było elementem odwracalnym). Ogólniej: $a^{-n} = \tfrac{1}{a^n} = (\tfrac{1}{a})^n$

dla $n \in \mathbb Z$ .

Warto zauważyć, że dla $m, n \in \mathbb Z$ prawdziwa jest również własność

Pierwiastek, potęga wymierna

Zapoznaj się również z: pierwiastkowanie.

Własność (4) jest prawdziwa także dla wykładników wymiernych. Niech $m, n \in \mathbb Z$ będą względnie pierwsze, przy czym $n > 0$ , wówczas $\tfrac{m}{n} \in \mathbb Q$ jest ułamkiem nieskracalnym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby nieujemnej a nazywa się rozwiązanie równania $x^n = a$ . Oznacza się je symbolem $\sqrt[n]{a}$ , a zamiast $\sqrt[2]{a}$ pisze się zwykle po prostu $\sqrt{a}$ . Jeżeli $a<0$ , to pierwiastkiem stopnia nieparzystego k nazywamy liczbę $-\sqrt[k]{-a}$ . Dla k parzystego taki pierwiastek rzeczywisty nie istnieje, natomiast zespolony będzie postaci $i \sqrt[k]{-a}$ . Pierwiastek k-tego stopnia z liczby a oznaczamy również jako $a^{1/k}$

Microsoft Excel (pełna nazwa Microsoft Office Excel) - arkusz kalkulacyjny produkowany przez firmę Microsoft dla systemów Windows i MacOS. Pierwsza wersja programu przeznaczona dla Windows trafiła na rynek w roku 1987 i stała się przebojem. Postępujący sukces rynkowy programu sprawił, że w roku 1993 programy pakietu Microsoft Office zostały przeprojektowane tak, by przypominać wyglądem arkusz Excel. Od wersji 5 wydanej w 1995 program zawiera wbudowany język Visual Basic. Od wersji 4.0 dostępny w wersji polskiej.
Granica – pojęcie używane w matematyce pojęcie na określenie zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.

Powyższe obserwacje podsumowuje wzór

z którego widać, iż podniesienie elementu do potęgi $1/n$ znosi działanie potęgi o wykładniku $n$ , zatem pierwiastkowanie można traktować jako działanie odwrotne względem $a^n$ .

W ten sposób definiuje się potęgę o wykładniku wymiernym wzorem

dla wszystkich $m, n$ dla których ma on sens (patrz dalej).

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.
C# (C Sharp, dosłownie "C-krzyżyk", "cis") – obiektowy język programowania zaprojektowany przez zespół pod kierunkiem Andersa Hejlsberga dla firmy Microsoft.

Potęga rzeczywista

Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7

Dla wykładników wymiernych potęgowanie można było traktować (o ile było wykonalne) jako złożenie potęgowania naturalnego (wielokrotne mnożenie), potęgi o wykładniku -1 (odwracania elementu) i odwrotności potęgi (pierwiastkowania). Definicja potęgowania dodatniej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym jest nieco bardziej zawiła, gdyż liczba niewymierna nie może być uzyskana tą drogą.

Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.
Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Wystarczy jednak w niej uwzględnić, iż liczby rzeczywiste są możliwe do uzyskania jako granice ciągów liczb wymiernych (tzw. ciągi Cauchy'ego). Na podstawie powyższych rozważań zdefiniowana jest potęga $x^y$ dla nieujemnych $x \in \mathbb R$ , oraz $y \in \mathbb Q$ . Jeżeli $y$ jest liczbą niewymierną, tzn. $y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$ , to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych $y_1, y_2, \dots$ o granicy w $y$ i przyjąć

bc to uniksowy kalkulator dowolnej precyzji (zarówno przed, jak i po przecinku). Umożliwia operowanie liczbami w dowolnych systemach liczbowych (wejście możliwe w systemie maksymalnie szesnastkowym, wyjście w dowolnie dużym), wykonywanie skryptów itd.
Maple – program komputerowy typu CAS służący do wykonywania obliczeń symbolicznych, stworzony w 1981 roku przez Symbolic Computation Group na Uniwersytecie Waterloo w Kanadzie.

$x^y = \lim_{n \to \infty}~x^{y_n}$

Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1-6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako $x^y = \sup \{x^p: p < y \mbox{ i } p \in \mathbb Q\}$ .

W obu przypadkach korzysta się z ciągłości.

Funkcja wykładnicza

Osobny artykuł: funkcja wykładnicza.

Jeżeli $a > 0$ , to układ równań funkcyjnych (por. (1) i (2)): $\begin{cases} f_a(x + y) = f_a(x) \cdot f_a(y) \\ f_a(1) = a \end{cases}$

definiuje jedyną (wszędzie) ciągłą funkcję $f_a: \mathbb R \to \mathbb R$ , gdzie $a \in \mathbb R$ dla której zachodzi

Sage (wcześniej SAGE - akronim nazwy Software for Algebra and Geometry Experimentation) - System algebry komputerowej napisanego w Pythonie i Cythonie (zmodyfikowanej wersji języka Pyrex).
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

$f_a(x) = a^x\;$ .

Funkcję $f_a$ nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie $a$ . Z powodu dogodnych własności liczby $e$ (podstawy logarytmu naturalnego) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocą logarytmu naturalnego, definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np. macierze kwadratowe, zob. dalej). Funkcja (elementarna) $\exp$ może być zadana za pomocą szeregu potęgowego

Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 r. w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 r. w Sztokholmie) – francuski matematyk, filozof i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.
Google Inc. (NASDAQ: GOOG) – amerykańska firma z branży internetowej. Jej flagowym produktem jest wyszukiwarka Google, a deklarowaną misją - skatalogowanie światowych zasobów informacji i uczynienie ich powszechnie dostępnymi i użytecznymi.

$\exp(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ ,

który jest zbieżny dla dowolnego $x \in \mathbb R$ (a nawet $x \in \mathbb C$ ). Zachodzą własności (1-6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2-3): $\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)$

oraz $\exp(0) = 1\;$ .

Dowodzi się również ciągłości i monotoniczności funkcji $\exp$ oraz tego, iż $\exp(1) = e\;$ .

Mając daną funkcję wykładniczą definiuje się funkcję logarytmu naturalnego $\ln(x)$ , będącą przypadkiem szczególnym funkcji logarytmicznej, jako funkcją odwrotną do $\exp(x)$ dla $x \in \mathbb R$ (stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem $x^y = \exp(y \ln(x))\;$ ,

który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla $x > 0$ oraz $y \in \mathbb R$ .

Dokumenty Google (oryginalnie Google Docs) - internetowy edytor dokumentów tekstowych, arkuszy kalkulacyjnych i prezentacji powstały poprzez zintegrowanie ze sobą serwisów Google Spreadsheets i Writely. Znany wcześniej w wersji angielskiej jako Google Docs & Spreadsheets, a w wersji polskiej Dokumenty i Arkusze Google. Od 7 lutego 2006 dostępny w języku polskim. Serwis umożliwia kooperowanie z wieloma osobami w tworzeniu dokumentów. Niektóre z obsługiwanych przez niego formatów to:
Lisp – rodzina języków programowania z długą historią i charakterystyczną składnią. Po raz pierwszy określony w 1958 roku, Lisp jest drugim z kolei pod względem wieku językiem programowania wysokiego poziomu pozostającym w użyciu (starszy jest tylko Fortran). Podobnie jak Fortran, Lisp wiele się zmienił w porównaniu ze swoimi początkami. W historii istniało wiele dialektów Lispu; dziś do najpopularniejszych należą trzy - Common Lisp , Scheme i Clojure.

Ujemna podstawa

Równanie $x^n = a$ nie ma rozwiązań rzeczywistych dla $a < 0$ oraz parzystego $n$ , choć ma jedno dla $n$ nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków. Zasadniczym problemem jest fakt, iż nie istnieje liczba rzeczywista $x$ będąca rozwiązaniem równania $x^2 = -1$ , dlatego definicja potęgi dla wykładnika będącego liczbą parzystą (licznik i mianownik są względnie pierwsze) wymaga użycia jednostki urojonej $i$ będącej jednym z rozwiązań wspomnianego równania.

Microsoft Windows (ang. okna, IPA: [maɪkɹoʊsɑːft ˈwɪndoʊz]) – rodzina kilku systemów operacyjnych wyprodukowanych przez firmę Microsoft. Systemy rodziny Windows działają na serwerach, systemach wbudowanych oraz na komputerach osobistych, z którymi są najczęściej kojarzone.
Notacja naukowa (ang. scientific notation) lub postać wykładnicza to sposób przedstawiania liczby rzeczywistej, dziesiętnej. Najczęściej stosowana jest w kalkulatorach naukowych oraz niektórych programach komputerowych.

Metoda korzystająca z logarytmów zawodzi, ponieważ $e^x > 0$ dla dowolnej $x \in \mathbb R$ , stąd dla $a \leqslant 0$ liczba $\ln y$ nie jest rzeczywista (z drugiej strony można zdefiniować potęgi zespolone liczb ujemnych wybierając logarytm zespolony z $y$ .

Do określenia potęgi ujemnej liczby rzeczywistej nie można również skorzystać z metody wykładnika wymiernego, gdyż opiera się ona na ciągłości. Funkcja $f(x) = a^x$ ma dokładnie jedno rozszerzenie ciągłe z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste dla dowolnego $a > 0$ , lecz okazuje się, że jeżeli $a < 0$ , to funkcja $f$ nie jest ciągła nawet w zbiorze liczb wymiernych, w którym została określona.

Działanie – w matematyce i logice jest to operacja na jednym lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami, wynikiem której jest element nazywany wynikiem działania.
Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – nauka o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.

Na przykład, jeśli $a = -1$ , to pierwiastkiem n-tego stopnia z $-1$ dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n > 0$ jest $-1$ . Niech $n$ będzie nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą, wówczas $(-1)^{m/n} = -1$ dla $m$ nieparzystych i $(-1)^{m/n} = 1$ dla $m$ parzystych. Stąd zbiór liczb wymiernych $q$ , dla których $(-1)^q = 1$ jest gęsty w zbiorze liczb wymiernych, podobnie zbiór tych $q$ , dla których $(-1)^q = -1$ , co oznacza, że funkcja $(-1)^q$ jest nieciągła w dowolnym punkcie $q$ należącym do zbioru liczb wymiernych, w którym została zdefiniowana.

Trygonometria – dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ badania astronomiczne.
Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)