Powierzchnia drugiego stopnia - Polski Serwis Naukowy

Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – w matematyce powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne $x,\ y,\ z\;$ : $a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12} xy+2a_{23} yz+2a_{13} zx+2a_{14} x+2a_{24} y+2a_{34} z+a_{44}=0,\qquad (1)\;$

gdzie $a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{23},a_{13},a_{14},a_{24},a_{34},a_{44}\in \mathbb R,$

przy czym nie zachodzi $a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{12}=a_{23}=a_{13}=0\;$

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników $a_{ij}\;$ kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Wykresy i równania kanoniczne

Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

Paraboloida obrotowa to nieograniczona powierzchnia drugiego stopnia posiadająca jedną oś symetrii, jedna z odmian paraboloidy, szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej.

W poniższych wzorach $a,b,c\in\mathbb R_+$ .

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Hiperboloida dwupowłokowa - powierzchnia drugiego stopnia otrzymana w następujący sposób: daną hiperbolę H obraca się dookoła prostej L przechodzącej przez ogniska tej hiperboli, uzyskując powierzchnię obrotową nazywaną hiperboloidą dwupowłokową obrotową: obraz hiperboloidy dwupowłokowej obrotowej w powinowactwie płaszczyznowym prostokątnym f względem płaszczyzny P zawierającej hiperbolę H jest hiperboloidą dwupowłokową. Każda hiperboloida dwupowłokowa jest niespójna; rozpada się na sumę dwóch zbiorów punktów powstałych przez obrót odpowiednich gałęzi hiperboli. Zbiory te nazywają się powłokami hiperboloidy dwupowłokowej.

Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).

Postać macierzowa równania

Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej: $\overrightarrow{x}^\top A \overrightarrow{x}+2\overrightarrow{a}^\top\overrightarrow{x}+a_{44}=0,$

gdzie: $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}$ $\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34}\end{bmatrix}$ $\overrightarrow{x}=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}$

Niezmienniki

Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi: $\Delta=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{matrix}\right|$ $\delta=\det A=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{matrix}\right|$ $S=a_{11}+a_{22}+a_{33}\;$ $T=a_{22} a_{33}+ a_{33} a_{11}+ a_{11} a_{22} -a_{23}^2 -a_{13}^2 -a_{12}^2\;$

Określenie typu na podstawie współczynników

Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ danej powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w przestrzeni i wybranego układu współrzędnych.

$\delta\ne 0\;$ tzw. powierzchnie środkowe:

$\Delta<0:\;$

$S\delta>0,\ T>0\;$ elipsoida (w szczególnym przypadku sfera)

$S\delta>0,\ T<0\;$ hiperboloida dwupowłokowa

$S\delta<0,\ T>0\;$ hiperboloida dwupowłokowa

$\Delta>0:\;$

$S\delta>0,\ T>0\;$ zbiór pusty (tzw. elipsoida urojona)

$S\delta>0,\ T<0\;$ hiperboloida jednopowłokowa

$S\delta<0,\ T>0\;$ hiperboloida jednopowłokowa

$\Delta=0:\;$

$S\delta>0,\ T>0\;$ pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)

$S\delta>0,\ T<0\;$ powierzchnia stożkowa

$S\delta<0,\ T>0\;$ powierzchnia stożkowa

$\delta=0:\;$

$\Delta\ne 0\;$ paraboloidy:

$\Delta<0 \Leftrightarrow T>0\;$ paraboloida eliptyczna (w szczególnym przypadku paraboloida obrotowa)

$\Delta>0 \Leftrightarrow T<0\;$ paraboloida hiperboliczna

$\Delta=0:\;$ :

$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{12} & a_{22} & a_{24}\\ a_{14} & a_{24} & a_{44} \end{matrix}\right| + \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{13} & a_{33} & a_{34}\\ a_{14} & a_{34} & a_{44} \end{matrix}\right| + \left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{23} & a_{33} & a_{34}\\ a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{matrix}\right| =0$
przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty)

w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej:

$T>0\;$ walec eliptyczny rzeczywisty lub urojony

$T<0\;$ walec hiperboliczny

$T=0\;$ walec paraboliczny

Linki zewnętrzne

Interaktywne aplety Javy rysujące różne rodzaje kwadryk(ang.)

Bibliografia

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299-301.