Prawdopodobieństwo warunkowe - Polski Serwis Naukowy

Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $B$ , gdzie $P(B)>0$ nazywamy liczbę $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Jest to iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń $A , B$ i prawdopodobieństwa zdarzenia $B .$

Używa się też oznaczenia $P_{\boldsymbol{B} }(A):=P(A|B)$ . Oczywiście $P_{\boldsymbol{B} }$ jest miarą probabilistyczną.

Prawdopodobieństwo warunkowe zbioru

Niech $( \Omega, \mathcal{F}, P )$ stanowi przestrzeń probabilistyczną, $A \in \mathcal F$ oraz $\mathcal G \subseteq \mathcal F.$

Miara probabilistyczna a. prawdopodobieństwo – w matematyce, a szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, miara przyporządkowująca całej przestrzeni mierzalnej, na której jest określona, liczbę 1. W teorii miary nazywana jest miarą unormowaną.

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Prawdopodobieństwem warunkowym zbioru $A\$ pod warunkiem σ-ciała $\mathcal G\$ nazywamy zmienną losową:

$P(A|\mathcal G) := \mathbb E($ $\color{blue}\mathbf 1_{A}$ $|\mathcal G).$

Przykłady

Przykład 1

Mamy dwie urny - w pierwszej są same białe kule, w drugiej same czarne. Najpierw wybieramy losowo urnę, a później losujemy kolejno dwie kule.

Niech:

Warunkowa wartość oczekiwana to podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

$A$ oznacza zdarzenie, że pierwsza kula jest biała, $B$ oznacza zdarzenie, że druga kula jest biała.

Wybór urny determinuje wybór koloru kul. Zatem, jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie $A$ , to druga wylosowana kula także będzie biała. W takim razie prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $B$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $A$ , oznaczane przez $P(B|A)$ , jest równe 1.

Przykład 2

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Niech $A$ oznacza zdarzenie, że nie wypadła szóstka, natomiast $B$ zdarzenie, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Obliczamy: $P(A \cap B) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{\bar{\bar{\Omega}}}$ , $P(B) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{\bar{\bar{\Omega}}}$

Z definicji: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2}$

Zdarzenia niezależne

Jeżeli zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne tj. $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ to $P(A|B)=P(A) \,$ .

Zobacz też

warunkowa wartość oczekiwana

teoria prawdopodobieństwa

twierdzenie Bayesa