Prawo Biota-Savarta - Polski Serwis Naukowy

Prawo Biota-Savarta – prawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika przez który płynie prąd elektryczny. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

W elektromagnetyzmie

Przewodnik z prądem

Przyczynek $d \vec B$ do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości ${d \vec l}$ przewodnika z prądem o natężeniu $I$ .

Sposób wyznaczania kierunku i zwrotu indukcji magnetycznej

$d \vec B = K_m {{ {I d \vec l} \times {\hat r} } \over {r^2}}$

gdzie $K_m = \frac{\mu_0}{4\pi}$ jest nazywane stałą magnetyczną, $I\mathbf{}$ – natężenie prądu, wyrażone w amperach, $d \vec l$ – skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długość elementu przewodnika, $\hat r$ – wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola, $r\mathbf{}$ – odległość elementu przewodnika od punktu pola.

Inna postać wzoru:

Ładunek elektryczny ciała (lub układu ciał) – fundamentalna własność materii przejawiająca się w oddziaływaniu elektromagnetycznym ciał obdarzonych tym ładunkiem. Ciała obdarzone ładunkiem mają zdolność wytwarzania pola elektromagnetycznego oraz oddziaływania z tym polem. Oddziaływanie ładunku z polem elektromagnetycznym jest określone przez siłę Lorentza i jest jednym z oddziaływań podstawowych.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

$d \vec {B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \frac{d \vec{l} \times \vec{r}}{| \vec{r}|^3}$

gdzie $\vec{r}$ to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru $dB=\frac{\mu _{0}I}{4\pi }\frac{dl\sin \alpha }{r^{2}}$

Rozciągły obszar z prądem

Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać: $d\vec B = K_m \frac{ \vec j \times \mathbf{\hat r}} {r^2} dV$

gdzie:

Przewodnik elektryczny – substancja, która dobrze przewodzi prąd elektryczny, a przewodzenie prądu ma charakter elektronowy. Atomy przewodnika tworzą wiązania, w których elektrony walencyjne (jeden, lub więcej) pozostają swobodne (nie związane z żadnym z atomów), tworząc w ten sposób tzw. gaz elektronowy.

Pole magnetyczne — stan przestrzeni, w której siły działają na poruszające się ładunki elektryczne, a także na ciała mające moment magnetyczny niezależnie od ich ruchu. Pole magnetyczne, obok pola elektrycznego, jest przejawem pola elektromagnetycznego. W zależności od układu odniesienia w jakim znajduje się obserwator, to samo zjawisko może być opisywane jako objaw pola elektrycznego, magnetycznego lub obu.

$\vec j$ – gęstość prądu, $dV$ – element objętości.

Poruszający się ładunek

$d\vec B = K_m \frac{ dq \vec {v} \times \hat{r}}{r^2}$

gdzie: dq – ładunek elektryczny, $\vec v$ – prędkość ładunku.

Pole w danym punkcie

Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się całkując różniczkowe elementy indukcji $d \vec{B}$ wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze. $\vec B = \int d\vec{B}$

Wnioski

Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).

Płyn – każda substancja, która może płynąć, tj. dowolnie zmieniać swój kształt w zależności od naczynia, w którym się znajduje, oraz może swobodnie się przemieszczać (przepływać), np. przepompowywana przez rury.

Natężenie prądu (nazywane potocznie prądem elektrycznym) jest wielkością fizyczną charakteryzującą przepływ prądu elektrycznego zdefiniowaną jako stosunek wartości ładunku elektrycznego przepływającego przez wyznaczoną powierzchnię do czasu przepływu ładunku.

Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego pole magnetyczne ma kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik, a indukcję magnetyczną w próżni określa wzór: $B = \frac {\mu_0} {2\pi} \frac I r$

gdzie: I – natężenie prądu, r – odległość od przewodnika.

Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika. W przypadku przewodnika nieliniowego indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu R w próżni prowadzi to do wyrażenia $B = \frac {\mu_0 I} {2R}$

W mechanice płynów

Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki:

przewodnik elektryczny – struga wirowa

natężenie prądu – cyrkulacja strugi

wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu

Prawo można sformułować w postaci:

Prędkość indukowana dv w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości dl określa wzór: $d\mathbf{v} = \frac{\Gamma \mathbf{\hat r} \times d\mathbf{l}}{4\pi r^2}$

gdzie: $\Gamma$ – cyrkulacja strugi.

Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu: $v = \frac{\Gamma}{2\pi r}$

Zobacz też

Jean-Baptiste Biot

Felix Savart

prawo Ampera