Prawo powszechnego ciążenia - Polski Serwis Naukowy

Prawo powszechnego ciążenia, zwane także prawem powszechnego ciążenia Newtona, głosi, że każdy obiekt we wszechświecie przyciąga każdy inny obiekt z siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami. Jest to ogólne prawo fizyczne, bazujące na empirycznych obserwacjach Newtona, które nazwał on indukcją (wpływem). Wchodzi ono w skład podstaw mechaniki klasycznej i zostało sformułowane w pracy sir Isaaca Newtona pt.: Philosophiae naturalis principia mathematica, opublikowanej po raz pierwszy 5 lipca 1687 r. W języku współczesnym prawo to brzmi następująco:

Siła dośrodkowa - w fizyce siła powodująca zakrzywianie toru ruchu ciała, skierowana wzdłuż normalnej (prostopadle) do toru, w stronę środka jego krzywizny. Wartość siły określa wzór:

Galileusz (wł. Galileo Galilei) (ur. 15 lutego 1564 w Pizie, zm. 8 stycznia 1642 koło Florencji) – włoski astronom, astrolog, fizyk i filozof, twórca podstaw nowożytnej fizyki.

Mechanizmy prawa powszechnego ciążenia Newtona; masa punktu m1 przyciąga masę innego punktu m2 z siłą F2, która jest proporcjonalna do iloczynu obu mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości (r) między nimi. Niezależnie od masy lub odległości, wielkość |F1| i |F2| będzie zawsze równa. G jest stałą grawitacyjną

Egzemplarz dzieła Newtona wydanego 5 lipca 1687 r. pod tytułem Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Matematycznie związek ten wyraża się wzorem:

Stała grawitacji (oznaczenie: G lub γ) – stała fizyczna służąca do opisu pola grawitacyjnego. Jako pierwszy wyznaczył ją Henry Cavendish. Obecnie używana wartość została opublikowana w 2002 roku przez Komitet Danych dla Nauki i Techniki (CODATA) i wynosi:

Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.

$F^{i} =G \frac{ m_1 m_2}{r^2} e^i,$

gdzie:
$G$ – stała grawitacji,
$m_1$ – masa pierwszego ciała,
$m_2$ – masa drugiego ciała,
$x^i$ – wektor łączący środki mas obu ciał, a
$r$ jest długością tego wektora,
$e^i=\frac{x^i}{r}$ jest wersorem (wektorem jednostkowym) ( $|e^i| =1$ ) osi łączącej środki mas obu ciał.
Siła $F^i$ jest wektorem, a jej wartość (długość tego wektora $F=F^i e^i$ ) jest równa:

Philosophiae naturalis principia mathematica (pol. Podstawy matematyczne filozofii przyrody) - dzieło Isaaca Newtona, w którym przedstawił prawo powszechnego ciążenia, a także prawa ruchu leżące u podstaw mechaniki klasycznej. Newton wyprowadził prawa Keplera dla ruchu planet (sformułowane na podstawie obserwacji astronomicznych).

Potencjał - pole skalarne określające pewne pole wektorowe. W fizyce dla wielu pól różnica potencjałów w dwóch punktach określa ilość energii koniecznej do przemieszczenia ciała z jednego punktu do drugiego.

$F = G \frac{ m_1 m_2}{r^2}.$

W swym dziele Newton przedstawił spójną teorię grawitacji, opisującą zarówno spadanie obiektów na ziemi, jak i ruch ciał niebieskich. Angielski fizyk oparł się na zaproponowanych przez siebie zasadach dynamiki oraz prawach Keplera dotyczących odległości planety od Słońca.

Stała grawitacji (oznaczenie: G lub γ) – stała fizyczna służąca do opisu pola grawitacyjnego. Jako pierwszy wyznaczył ją Henry Cavendish. Obecnie używana wartość została opublikowana w 2002 roku przez Komitet Danych dla Nauki i Techniki (CODATA) i wynosi:

Praca - skalarna wielkość fizyczna, miara ilości energii przekazywanej między układami fizycznymi w procesach mechanicznych, elektrycznych, termodynamicznych i innych.

Dla uproszczenia załóżmy, że dwie planety poruszają się po kołowej orbicie. Prawo Keplera przyjmie dla nich postać: $\left (\frac{R_1}{R_2}\right)^3=\left (\frac{T_1}{T_2}\right)^2 (1),$

gdzie: $R_1$ , $R_2$ – promienie orbit, $T_1$ , $T_2$ – okresy obiegu planet.

Zgodnie z rachunkiem wektorowym ciało poruszające się po okręgu jest poddane przyspieszeniu: $a=\frac{v^2}{R} (2),$

gdzie: $a$ – przyspieszenie, $v$ – prędkość, $R$ – promień okręgu, co według drugiej zasady dynamiki oznacza, że musi działać na nie siła dośrodkowa:

Masa – jedna z podstawowych . W szczególnej teorii względności związana z ilością energii zawartej w obiekcie fizycznym. Najczęściej oznaczana literą m.

Zasady dynamiki Newtona – trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu.

$F_d=\frac{m_b v^2}{R} (3),$

gdzie $m_b$ to masa bezwładnościowa ciała.

Przy ruchu planet ta siła dośrodkowa jest równa sile grawitacyjnej $F_g$ . Prędkość orbitalna może być wyliczona jako: $v=\frac{2\pi R}{T} (4)$

Jeżeli podstawimy zależność (4) do (3) to otrzymamy: $F_g=\frac{m_b 4 \pi^2 R}{T^2} (5),$

Stosunek sił grawitacyjnych dla planet można rozpisać jako: $\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{m_{b1} R_1 T_2^2}{m_{b2} R_2 T_1^2} (5),$

Jeżeli teraz do równania (5) podstawimy (1) to pozbędziemy się okresów obiegu: $\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{m_{b1} R_2^2}{m_{b2} R_1^2} (5),$

Otrzymana zależność oznacza tyle, że stosunek sił grawitacyjnych jest proporcjonalny do odwrotności stosunku kwadratów odległości. Jeżeli planeta jest dwa razy dalej od Słońca, to siła grawitacji jest cztery razy mniejsza. Kiedy ciało ma dwa razy mniejszą masę, wtedy siła jest dwa razy mniejsza.

Newton uznał, że ta sama siła powoduje ruch planet po orbitach oraz spadanie jabłka z drzewa. W ten sposób ten wielki fizyk położył podwaliny pod mechanikę klasyczną. W tym ujęciu grawitacja jest siłą, z jaką oddziałują na siebie wszelkie ciała obdarzone masą.

Zmiany przyspieszenia grawitacyjnego w funkcji wysokości

Masy grawitacyjne $m_1$ i $m_2$ nie muszą być równe masom bezwładnościowym występującym w II zasadzie dynamiki Newtona. Zaobserwowana równość tych wartości oznacza, że ruch ciała w polu grawitacyjnym nie zależy od jego masy. Postulat ten jako pierwszy wysunął Galileusz. Równoznaczność mas bezwładnościowych i grawitacyjnych, zupełnie przypadkowa z punktu widzenia mechaniki klasycznej, jest podstawą ogólnej teorii względności.

Równoważność masy bezwładnościowej i grawitacyjnej czekała na potwierdzenie eksperymentalne aż do roku 1798. Angielski fizyk Henry Cavendish jako pierwszy wykonał doświadczenia z wykorzystaniem oscylujących mas, dzięki którym określił wartość stałej grawitacyjnej G z niepewnością 1%. W tym samym eksperymencie potwierdził też równoznaczność masy grawitacyjnej i bezwładnościowej.

Stała grawitacji została uznana za jedną z podstawowych stałych fizycznych. Z pomiarów wynika, że jej wartość wynosi: $G \approx 6,6732(\pm 0,0031)10^{-11}\operatorname{m}^3 \operatorname{kg}^{-1}\operatorname{s}^{-2}.$

Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym. Praca wykonywana w tym polu nie zależy od drogi po jakiej przemieszczają się ciała, tylko od różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym. Możliwe jest zatem zdefiniowanie funkcji U, która opisuje potencjał pola grawitacyjnego. Spełnia ona następującą zależność: $F^{i} =-\frac{\partial U}{\partial x^i},$

Korzystając z tego równania można obliczyć energię potencjalną pola grawitacyjnego.

Przypisy

Isaac Newton: "In [experimental] philosophy particular propositions are inferred from the phenomena and afterwards rendered general by induction": "Principia", Book 3, General Scholium, at p.392 in Volume 2 of Andrew Motte's English translation published 1729.
Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators: Isaac Newton, The Principia: Philosophiae naturalis principia mathematica. Preceded by A Guide to Newton's Principia, by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4