Prawo stygnięcia - Polski Serwis Naukowy

Prawo stygnięcia (prawo stygnięcia Newtona) - w fizyce prawo określające z jaką szybkością ciała przekazują sobie energię cieplną w wyniku przewodnictwa ciepła. Prawo zostało sformułowane przez Izaaka Newtona.

Prawo nie obowiązuje jeżeli przekazywanie energii cieplnej odbywa się przez promieniowanie cieplne, konwekcję lub przewodzeniu towarzyszy zmiana stanu skupienia (np. parowanie).

Sformułowanie prawa

Prawo stygnięcia (prawo stygnięcia Newtona) mówi, że:

Przewodność cieplna, inaczej współczynnik przewodnictwa ciepła, (k lub λ), określa zdolność substancji do przewodzenia ciepła. W tych samych warunkach więcej ciepła przepłynie przez substancję o większym współczynniku przewodności cieplnej.

Termostat to urządzenie lub element urządzenia utrzymujące ("-stat") zadaną temperaturę ("termo-") poprzez aktywne działanie. Czasami nazwa rozciągana jest też na urządzenia o charakterze biernym utrzymujące temperaturę dzięki dobrej izolacji cieplnej np. termos lub naczynie Dewara lub wykorzystujące zjawiska przebiegające w określonych temperaturach np. łaźnia wodna.

"Szybkość z jaką układ stygnie jest proporcjonalna do różnicy temperatur pomiędzy układem a otoczeniem."

Matematycznie można to wyrazić jako: $\frac{dT}{dt} = -k \left(T - T_{R}\right) = -k \Delta T$

gdzie:

T - temperatura ciała;

TR - temperatura otoczenia;

ΔT - różnica temperatur układu i otoczenia;

t - czas;

k - stała dla danego układu (zależna m.in. od fizycznej wielkości układu, jego pojemności cieplnej i jego wewnętrznej struktury, przenikalności cieplnej ścianek układu, rodzaju otoczenia).

Stygnięcie przy stałej temperaturze otoczenia

Z powyższego, przy założeniu stałości temperatury otoczenia, otrzymujemy eksponencjalną zależność temperatury stygnącego układu od czasu stygniecia:

Otoczenie termodynamiczne , skrótowo otoczenie, inaczej środowisko to wszystko co nie należy do układu termodynamicznego, teoretycznie cały Wszechświat.

Temperatura – jedna z podstawowych ) w termodynamice, będąca miarą stopnia nagrzania ciał. Temperaturę można ściśle zdefiniować tylko dla stanów równowagi termodynamicznej, bowiem z termodynamicznego punktu widzenia jest ona wielkością reprezentującą wspólną własność dwóch układów pozostających w równowadze ze sobą. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.

$T(t) - T_{R} = \Delta T (t) = \Delta T (0) \ e^ {-k t}$

gdzie ΔT(0) - początkowa różnica temperatur.

Wyprowadzenie

Krzywa ostygania ilustrująca spadek temperatury stygnącego ciała w czasie.

Prawo ostygania zapisane w postaci $\frac{dT}{dt}=-k\left( T-T_{R} \right)$

gdzie TR jest temperaturą otoczenia a T - aktualną temperaturą układu, jest równaniem różniczkowym, w którym można rozdzielić zmienne $\frac{dT}{T-T_{R}}=-kdt$ $\int\limits_{T_{0}}^{T}{\frac{dT}{T-T_{R}}}=-\int\limits_{0}^{t}{kd}t$

gdzie T0 oznacza temperaturę początkową układu. Po wycałkowaniu

Konwekcja – proces przekazywania ciepła związany z makroskopowym ruchem materii w płynie; gazie, cieczy bądź plazmie, np. powietrzu, wodzie, plazmie gwiazdowej. Czasami przez konwekcję rozumie się również sam ruch materii związany z różnicami temperatur, który prowadzi do przenoszenia ciepła. Ruch ten precyzyjniej nazywa się prądem konwekcyjnym.

Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.

$\left. \ln \left( T-T_{R} \right) \right|_{T_{0}}^{T}=-kt$ $\ln \frac{T-T_{R}}{T_{0}-T_{R}}=-kt$ $T-T_{R}=\left( T_{0}-T_{R} \right)\exp \left( -kt \right)$

i ostatecznie: $T=T_{R}+\left( T_{0}-T_{R} \right)\exp \left( -kt \right)$

Temperaturę stygnącego ciała w funkcji czasu ilustruje krzywa ostygania.

Realność warunku stałości temperatury otoczenia

Gdy ciało stygnie, wówczas temperatura otoczenia może się podnosić. Warunek stałości temperatury otoczenia może być jednak utrzymany gdy:

otoczenie ma dużą pojemność cieplną w porównaniu ze stygnącym przedmiotem (np. szklanka z herbatą na dworcu);
temperatura otoczenia utrzymywana jest za przez przemianę fazową zachodzącą w stałej temperaturze (np. topniejący lód) - wówczas ciepło dopływające do otoczenia w całości absorbowane jest do przemiany fazowej.

W praktyce stałość temperatury otoczenia można uzyskać przez użycie takich warunków eksperymentalnych jak:

Promieniowanie cieplne (termiczne) to promieniowanie, które emituje ciało mające temperaturę większą od zera bezwzględnego gdy znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej z promieniowaniem. Promieniowanie to jest falą elektromagnetyczną o określonym widmie częstotliwości. Przykładem promieniowania cieplnego jest podczerwień emitowana przez wszystkie ciała w naszym otoczeniu.

Układ termodynamicznie izolowany (układ termodynamiczny odosobniony) – układ termodynamiczny, który nie wymienia z otoczeniem ani materii, ani energii.

łaźnia laboratoryjna, np. łaźnia wodna lub olejowa (poprzez termostatowanie)

woda z lodem (stała temperatura 0 °C),

wrząca woda przy ciśnieniu standardowym (stała temperatura 100 °C) itp.

ciekły azot w otwartym naczyniu (pod stałym ciśnieniem wrze w stałej temperaturze 77-78 K)

Stygnięcie przy zmiennej temperaturze otoczenia

Założenia

Jeżeli stygnący układ i bezpośrednie otoczenie układu są odizolowane od otoczenia termodynamicznego, prawo stygnięcia Newtona pozostaje słuszne, pomimo tego że temperatura otoczenia układu nie jest stała.

Układ termodynamiczny to dowolnie wybrana część wszechświata, której zachowanie jest rozpatrywane na podstawie zasad termodynamiki. Pozostały świat to Otoczenie termodynamiczne.

Woda, tlenek wodoru (nazwa systematyczna IUPAC: oksydan) – związek chemiczny o wzorze H2O, występujący w warunkach standardowych w stanie ciekłym. W stanie gazowym wodę określa się mianem pary wodnej, a w stałym stanie skupienia – lodem. Słowo woda jako nazwa związku chemicznego może się odnosić do każdego stanu skupienia.

Najprościej można sobie wyobrazić 2 układy odizolowane termicznie od otoczenia a w kontakcie ze sobą poprzez przegrodę, przy czym wnętrza obu układów mają jednorodny rozkład temperatury (uzyskuje się np. poprzez mieszanie lub gdy szybkość przepływu ciepła przez przegrodę jest dużo mniejsza niż przepływ wewnątrz obu układów). Konieczne jest też założenie o (przynajmniej w przybliżeniu) stałości pojemności cieplnych obu układów (stałości ciepeł właściwych).

Masa – jedna z podstawowych . W szczególnej teorii względności związana z ilością energii zawartej w obiekcie fizycznym. Najczęściej oznaczana literą m.

Fizyka (z gr. φύσις physis - "natura") – nauka o przyrodzie w najszerszym znaczeniu tego słowa. Fizycy badają właściwości i przemiany materii i energii oraz oddziaływanie między nimi. Do opisu zjawisk fizycznych używają wielkości fizycznych, wyrażonych za pomocą pojęć matematycznych, takich jak liczba, wektor, tensor. Tworząc hipotezy i teorie fizyki, budują relacje pomiędzy wielkościami fizycznymi.

Przepływ ciepła przez przegrodę zależy od różnicy temperatur obu układów: $\frac{dQ_{1}}{dt} = -k_{q} (T_{1} - T_{2})$

Oba układy są izolowane od otoczenia, a więc: $\frac{dQ_{2}}{dt} = - \frac{dQ_{1}}{dt}$

Rozwiązanie

Różnice pojemności cieplnej obu układów (inna masa, m, i inne ciepło właściwe, C), powodują że ta sama ilość ciepła (energii) zmienia temperaturę w różny sposób: $dQ_2 = -dQ_{1}$ i $\Delta Q_2 = -\Delta Q_1$ $dQ_1 = m_1 C_1 dT_1$ i $\Delta Q_1 = m_1 C_1 \Delta T_1$ $dQ_2 = m_2 C_2 dT_2$ i $\Delta Q_2 = m_2 C_2 \Delta T_2$

a także:

Wrzenie – zjawisko przemiany cieczy w gaz (parę), podczas którego powstają i rosną pęcherzyki pary nasyconej w objętości. Dlatego mówi się, że wrzenie to gwałtowne parowanie nie tylko na powierzchni, ale także w całej objętości. Wrzenie wymaga dostarczania energii do wrzącego ciała, dlatego jest to przejściem fazowym pierwszego rodzaju.

$\frac{dT_1}{dT_2} = -\frac{m_2 C_2}{m_1 C_1} = const$ $(T_1-T_{eq}) = - (T_2-T_{eq}) \frac{m_2 C_2} {m_1 C_1}$ gdzie temperatura końcowa Teq jest funkcją temperatur początkowych T1,0 i T2,0 oraz pojemności cieplnych układów: $T_{eq}= \frac{T_{1,0} + T_{2,0} \frac{m_2 C_2} {m_1 C_1}}{1 + \frac{m_2 C_2}{m_1 C_1} }$

Stąd: $\frac{dT_1}{dt} = -\frac{k_{q}}{m_1C_1} (T_1 - T_2) = -\frac k {m_1 C_1} \Delta T$ $\frac{dT_2}{dt} = -\frac{k_q}{m_2 C_2} (T_2 - T_1) = \frac{k}{m_2C_2} \Delta T$ gdzie ΔT jest róznicą temperatur układów "1" i "2": $\Delta T = T_1-T_2$

Skąd wynika: $\frac{d\Delta T}{dt} = -k_{T,12} \Delta T$

gdzie:

$k_{T,12} = k_{q} \left( \frac{1}{m_{1}C_1} + \frac{1}{m_{2}C_2}\right)$

I ostatecznie: $T_{1}(t) - T_{2}(t) = \Delta T (t) = \Delta T_{0} \exp(-k_{T,12} t)$ gdzie ΔT0 jest początkową różnicą temperatur: $\Delta T_{0} = \Delta T (0) = T_{1,0} - T_{2,0}$

oraz: $T_{1}(t) - T_{eq} = \frac{\frac{m_{2}C_2}{m_{1}C_1} }{1 + \frac{m_2 C_2}{m_1C_1} } \Delta T_{o} \exp(-k_{T,12} t)$

lub $T_1(t) = T_{eq} + (T_{1,0}-T_{2,0}) \frac{m_{2}C_2}{m_1C_1 + m_{2}C_2} \exp(-k_{T,12} t)$

Wynik końcowy zgodny jest więc (co do charakteru przebiegu eksponencjalnego) z prawem stygnięcia Newtona dla stygnącego układu w kontakcie z otoczeniem o stałej temperaturze. To tłumaczy również sukces tego prostego prawa nawet gdy jego podstawowe założenia nie są spełnione.

Przypadek graniczny - stała temperatura otoczenia

Gdy pojemność układu "2" traktowanego tutaj jako "bezpośrednie otoczenie" jest dużo większa niż pojemność cieplna układu stygnącego: $m_{2}C_2 >> m_{1}C_1$

wówczas temperatura układu "2" (bezpośredniego otoczenia stygnącego układu) pozostaje stała: $T_{eq} \approx T_{2} \approx T_{2,0}$

oraz: $\Delta T = T_{1}(t) - T_{2,0} = \Delta T_{0} \exp(-k_{T,1} t)\,$

gdzie współczynnik kT,1 w równaniu jest tożsamy z wartością k w oryginalnym równaniu eksponencjalnym: $k_{T,1} = k_{q} \left( \frac{1}{m_{1}C_1} \right) = k$